японска теорема - вписан многоъгълник

В задачата японска теорема - вписан многоъгълник (japanese theorem for cyclic polygons) се извежда твърдението: сумата от радиусите на вписаните окръжности във всеки триъгълник не зависи от начина за представяне на многоъгълника като съвкупност от триъгълници.

По подразбиране се разглежда изпъкнал правилен многоъгълник - всеки от които е едновременно описан и вписан многоъгълник.

Страните на всеки от съставните триъгълници могат да бъдат страни на вписания многоъгълник, диагонали в него и/или страна на друг триъгълник. Върхове на всеки от триъгълниците са върхове на многоъгълника. Няма пресечни точки между страни на отделните триъгълници. В болшинството публикувани примери се разглежда триангулиране на вписан многоъгълник по един същи начин, но от различен начален връх.

Алгоритъмът на построителната задача демонстриране на особености за задачата японска теорема - вписан многоъгълник използва подалгоритъм със следните стъпки:

брой страни на вписания многоъгълник;

естествено число за номер за начален връх на многоъгълника;

посока на обхождане на вписания многоъгълник - по или обратно на часовниковата стрелка, като веднъж избрана посоката не се променя (за ветрило и спирала).

начини за представяне чрез триъгълници: ветрило, зиг-заг, спирала.

1) алгоритъм ветрило - в цикъл последователно се построява съответния диагонал на многоъгълника с начало избрания връх.

2) алгоритъм зиг-заг - от избрания начален връх и се построява диагонал до най-близки съседен връх, като в цикъл последователно се сменя посоката и се построява диагонал до предходния връх.

3) алгоритъм спирала - в цикъл се построява диагонал до най-близкия необходен връх на описания многоъгълник, така че никой диагонал да не пресича вече построените.

Разбиване по спирала може да се опише и като последователно изрязване на триъгълник чийто две страни са страни на остатъка от многоъгълника, а третата е диагонал в него.

За всеки от избраните начини програмно се изчертават N-2 вписани окръжности и се извеждат техните радиуси. Разгледайте варианти при еднакъв брой страни на многоъгълника, но с различен начален връх. Проверете за всеки от вариантите изчислената сума на радиусите.

Отделни елементи от групата задачи сангаку (sangaku) са познати като японска теорема / японска задача - името на конкретната теорема/задача, оттук и идва името на страницата японска теорема - вписан многоъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, теорема на Тебо, теорема на Карно, японска теорема (japanese theorem for cyclic quadrilaterals), японска задача - 8 окръжности, теорема за еднакви вписани окръжности (equal incircles theorem).