теорема на Pivot

В теорема на Pivot (Pivot theorem) се разглежда произволен триъгълник и точка от него: ако върху всяка от страните на триъгълника ABC се избере точка (D, E, F), лежаща между два върха и се построят три окръжности преминаващи през две от избраните точки и връх от триъгълника, то трите окръжности преминават през една и съща точка.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Pivot съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се посочват три точки върху страните на триъгълника (D, E, F) - използва се алгоритъм за изчисляване разстояние на точка до права и се построява проекцията на посочената точка върху поредната страна на триъгълника;

в цикъл последователно се построява окръжност по три точки - връх на триъгълник и две точки лежащи на рамената на ъгъла с начало избрания връх;

за проверка на извода от теорема на Pivot се изчисляват пресечните точки на окръжностите като една от тях (т.P - на чертежа с цвят лилав) трябва да има идентични координати за всяка двойка окръжности - използва се алгоритъм представен в обща хорда.

Отсечката (на чертежа в жълт цвят) е частта от права на Ойлер заключена между ортоцентъра т.Н и центъра на описаната окръжност т.О около референтния триъгълник. Тя илюстрира твърдението, че при разностранен триъгълник общата пресечна точка Р не е инцидентна с права на Ойлер.

Съществува алгоритъм на същата построителна задача имащ по-малка изчислителна сложност. Стъпките включват подалгоритъм триъгълник на Ceva и последните три стъпки от вече описания алгоритъм.

Потвърдете или опровергайте: твърдението в теорема на Pivot остава вярно дори и ако избраната точка не принадлежи на триъгълника.

Вярна е и обратната теорема на Pivot: ако съществуват три взаимно пресичащи се окръжности в обща точка, то може да бъде построен триъгълник, чийто върхове лежат на окръжностите, а страните му са инцидентни с пресечните точки на окръжностите.

Обобщението за теорема на Pivot е представено в теорема на Miquel.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Miquel, права на Ойлер, допиращи се окръжности, окръжности на Lucas, окръжности на Soddy, окръжности на Malfatti.