окръжност на Yiu

Задачата окръжност на Yiu (Yiu circle) е част от множеството архимедови окръжности. Тя се допира едновременно до основната дъга на референтния арбелос и до средната дъга в него. Перпендикулярът, с пета допирната точка на двете малки дъги, е инцидентен с центъра на разглежданата окръжност.

Задачата е представена от Paul Yiu. Друга интересна особеност за разглежданата окръжност на Yiu, е че се допира едновременно до две други окръжности (на чертежа с цвят жълт), всяка от тях има радиус равен на радиуса на основната дъга от референтния арбелос, а техния център е равно отдалечен от петата на перпендикуляра т.D. Подробности за разглежданата задача са представени от Okumura и Watanabe.

Алгоритъмът на построителната задача окръжност на Yiu съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.C върху отсечката AB;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

средна дъга: радиус Rs = AB/4 = (Ra+Rb)/4 и център т.Q (EQ = FQ);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната, средната и двете малки дъги;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.C, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ АВ), петата на перпендикуляра т.D е и допирна точка на малките дъги;

последователно се построяват допълнителни дъги с радиуси ID = JD = R;

При изчисляване координати за център на разглежданата окръжност на Yiu съществуват няколко алгоритъма:

а) с ниска сложност: последователно се построяват помощни дъги с радиуси ID + Rh = JD + Rh = R + Rh и се изчисляват координати на тяхната пресечна точка т.P;

б) при изчисляване координатите за център се ползва теорема на Питагор за правоъгълен триъгълник с върхове: центъра на търсената окръжност т.P, петата на перпендикуляра т.D и центъра на основната дъга т.O. Хипотенузата на триъгълника е разликата между R радиуса на основната дъга и радиус на  архимедова окръжност Rh = Ra*Rb/(Ra+Rb), единият катет е разстоянието между точките OD пета на перпендикуляра - център на голямата дъга.

с вече изчислените координати за център и радиус на архимедова окръжност се построява търсената окръжност на Yiu;

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: допирна окръжност на Schoch, окръжност на Yiu-Woo, окръжност на Yiu-Schoch, архимедови окръжности.