теорема на Miquel

В теорема на Miquel (Miquel's theorem) се разглежда произволен триъгълник и три допълнителни точки инцидентни със страните. Ако точките D, E, F лежат съответно на всяка от страните на произволния триъгълник ABC, или на тяхното продължение, то описаните окръжности около триъгълниците AEF, BDF, CDE се пресичат в една точка, наречена точка на Miquel (Miquel point).

Името на теоремата е по името на нейния автор Огюст Микел и е свързана с теорема на Pivot. Избраните точки може да са върхове на изроден триъгълник. При реализиране на конструкцията се ползват алгоритми заложени в теорема на Чева - точка на Чева, чевиани.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Miquel съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

посочва се 4-та точка т.Т (точка на Чева), която не непременно принадлежи на триъгълника;

в цикъл последователно се изчисляват координати и се построява пета на всяка чевиана т.D, т.E, т.F - използва се алгоритъм представен в триъгълник на Ceva;

в цикъл последователно се построява окръжност по три точки (AEF, BDF, CDE) - връх на триъгълник и две точки лежащи на рамената на ъгъла с начало избрания връх;

за проверка основното твърдение от теорема на Miquel се изчисляват пресечните точки на окръжностите като една от тях (т. M, на чертежа с цвят лилав, точка на Miquel) трябва да има конгруентни координати за всяка двойка окръжности - използва се алгоритъм представен в обща хорда, конкурентни окръжности. Всяка от отсечките MD, ME, MF е обща хорда за съответната двойка пресичащи се окръжности и перпендикуляр към съответната страна.

Подобна конфигурация с триъгълник и свързани с него конкурентни окръжности са представени в окръжности на Lucas, окръжности на Soddy, окръжности на Malfatti.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: хорда, теорема на Pivot, теорема на Чева,  окръжности на Lucas, окръжности на Soddy, окръжности на Malfatti, точка на Miquel, теорема на Miquel-Shtajner.