варианти на Сократ

В задачите варианти на Сократ се разглеждат две сходни доказателства на питагоровата теорема ползващи конфигурация: два квадрата, равнобедрен и разностранни правоъгълни триъгълници - елементи и в основната задача.

И в двата представени варианта контурът ABEFH е допълнен до квадрат CDFH с два еднакви правоъгълни триъгълника ABC ≅ BED, всеки с хипотенуза катет на равнобедрения триъгълник (AB = BE) и катети с дължина страна на квадратите AIGH, EJGF.

Ползва се следствие от теорема на Талес - медиана BO към хипотенуза AE е с дължина BO = AE/2. В равнобедрен триъгълник медианата към основата на триъгълника е едновременно ъглополовяща и височина. Лице на равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза AE: Saeb = AE*BO/2 = AE*(AE/2)/2 = AE²/4. Аналогично следствие е: дължината на диагонал в квадрат е произведение от дължина на страна в същия квадрат и √2.

От задачата доказателство на Сократ - фигурата с върхове A,H,G,F,E, B включва два вписани квадрата AIGH (със страна BC), JEFG (със страна AC) и подобните равнобедрени правоъгълни триъгълници AGH ≈ GEF. Триъгълниците има коефициент на подобие AG/BC = EG/AC= √2 - катетите AG, EG са диагонали в квадрати с дължина на страна съответно BC, AC.

От задачата доказателство на Zhong: описан квадрат CDFH, вписан квадрат ABET, 4 еднакви правоъгълни триъгълника ABC ≅ BED ≅ ETF ≅ ATH.

По подобен начин и в задачата вариант с доказателство на Zhong се ползва подхода доказателство с бином.

Scdfh = (AC + AH)² = 2*Sacde = 2*(2*Sabc + Sabe);

(AC + BC)² = 2*(2*AC*BC/2 + AB*BE/2);

AC² + 2*AC*BC + BC² = 2*AC*BC + AB²;

AC² + BC² = AB² - търсеното доказателство.

вариант с доказателство на Гарфийлд

Построителната задача вариант с доказателство на Гарфийлд илюстрира връзката между два подхода при извеждане на основната  формула от известната питагорова теорема.

В задачата доказателство на Гарфийлд се разглежда правоъгълен трапец ABGF с вписани два еднакви правоъгълни триъгълника AHF, BHG чиито хипотенузи са катети на правоъгълен равнобедрен триъгълник ABH.

В задачата доказателство на Сократ се разглежда контур с върхове: A, H, B, D, C, E.

Елементите в жълт цвят са само за илюстрация и нямат отношение при извеждане на доказателството.

Отсечката AB е едновременно хипотенуза на два правоъгълни триъгълника: разностранния ABC и равнобедрения ABH. AB е инцидентна с т.O, център на квадрата DEFG като го разделя на два еднакви правоъгълни трапеца ABGF ≅ ABDE - връзка със задачата доказателство на Гарфийлд.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

Отново се ползват връзките: теорема на Талес - медиана към хипотенузата, лице на равнобедрен правоъгълен триъгълник (ABH, ACE, BCD), дължина на диагонал в квадрат.

Изведеното доказателство е чрез равенство на площи.

Sabgf = Sabh + Sahf + Sbhf;

Sabgf = AB*HO/2 + AF*HF/2 + HG*BG/2;

Sabgf = AB*(AB/2)/2 + 2*AF*HF/2 ;

Sabgf = AB²/4 + (BC/√2)*(AC/√2);

Sabgf = AB²/4 + BC*AC/2;

Sabde = Sabc + Sace + Sbcd;

Sabde = AC*BC/2 + AC*AC/4 + BC*BC/4 - прилага се следствие от теорема на Талес;

Sabde = AC*BC/2 + AC²/4 + BC²/4;

от Sabgf = Sabde следва:

AB²/4 + BC*AC/2 = AC*BC/2 + AC²/4 + BC²/4;

AB² = AC² +  BC²  - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Сократ, доказателство на Гарфийлд, доказателство на Zhong, доказателство с бином.