арбелос и ъглополовяща

В задачата арбелос и ъглополовяща се разглежда арбелос, окръжност на Bankoff и двойка не архимедови окръжности с равен радиус. Центърът на двете окръжности е инцидентен с права на Schoch. Извежда се нагледно доказателство, че отсечката DK е ъглополовяща в триъгълник ABG и пресича права на Schoch в центъра на едната не архимедова окръжност. 

Автор на задачата е арбелос и ъглополовяща Tomas Schoch. По дефиниция правата на Schoch е перпендикулярна на основната ос на референтния арбелос.

Алгоритъмът на задачата арбелос и ъглополовяща съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката АВ;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

средна дъга: радиус Rs = AB/4 = (Ra+Rb)/4 и център т.Q (EQ = FQ);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната, средната и двете малки дъги;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.С, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ AB), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

построява се отсечката MN свързваща средните точки на малките дъги

построява се окръжност на  Bankoff - на чертежа с цвят син и център т.Q

построява се първата допълнителна не архимедова окръжност инцидентна с пресечните точки между малките дъги на арбелоса и построената окръжност на  Bankoff - изчислява се дължина на радиус Rn;

изчислява се допирната точка т.K между голямата дъга и построената допълнителна окръжност;

последователно се построяват отсечки: KD, AK, BK;

последователно се изчисляват дължини на отсечките: AK, BK, KD;

като се ползват предварително изчислените дължини AD = 2*Ra, BD = 2*RB се проверява равенството;

BD/CD=AB/AC

от получаването на конгруентни стойности следва, че се изпълнява основното твърдение в теорема за ъглополовяща. Тя гласи: ъглополовящата на вътрешен ъгъл в триъгълник дели срещулежащата му страна на отсечки, чиито дължини са в отношение равно на отношението на другите две страни. За ъгъл CAB отношението е: BD/CD=AB/AC;

изчисляват се полярните координати за център на втората не архимедова окръжност с център т.I  - на чертежа с цвят виолетов;

през точки IJ се построява права, изчислява се пресечната точка т.S между построената права и основната ос AB на арбелоса - S = IJ x AB;

извършва се проверка дали IJS ⊥ AB - това е и второто твърдение в задачата арбелос и ъглополовяща.

Докажете или опровергайте твърдението за перпендикулярност на отсечките  MN и KD.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: права на Schoch, окръжност на  Bankoff, теорема за ъглополовяща, архимедови окръжности.