вписан и описан четириъгълник

Едновременно вписан и описан четириъгълник е наричан и бицентричен четириъгълник (bicentric quadrilateral).  Един изпъкнал четириъгълник може да е едновременно вписан и описан четириъгълник, ако се изпълняват условията: е равенство на сумите от двете двойки срещулежащи ъгли (НДУ за вписан четириъгълник) и едновременно с това равни суми от дължини на двете двойки срещулежащи страни (НДУ за описан четириъгълник от теорема на Питот).

Четириъгълник с такива свойства може да бъде: квадрат, правоъгълен делтоид, равнобедрен трапец с равни суми от дължини на срещулежащи страни.

Лице на вписан и описан четириъгълник може да бъде представено като специален случай от теорема на Брахмагупта:  S = √(a*b*c*d).

Чрез формулата, от теорема на Fuss, се изчислява разстоянието между центровете на вписана и описана окръжност около 4-ъгълник:  1 / (R - r)² + 1 / (R + OQ)² = 1 / r².

Описанието на построителната задача за вписан и описан четириъгълник е на база построяване на правоъгълен делтоид:

от теорема за степен на точка: ако от точка, външна за окръжност, се построи допирателна към окръжността, то радиусът на окръжността е перпендикулярен към допирателната в точката на допиране;

посочват се координати за т.1 - точка външна за окръжност и връх на делтоида;

посочват се т.2 (цвят зелен) за център на окръжност и т.3 (цвят виолетов) за изчисляване дължина на радиус от дължина на отсечката 23;

построява се окръжност с посочените координати за център и изчислената дължина на радиуса;

от т.1 се построяват две допирателни (13 и 14) към окръжността - по алгоритъм представен в допирателна;

триъгълниците 142 и 152 са правоъгълни и това дава възможност да се построи търсения правоъгълен делтоид 1234;

от теорема на Талес центърът на описаната окръжност около правоъгълен триъгълник разполовява хипотенузата. Построява се описаната окръжност около делтоида - с център среда на отсечката 12 и радиус половината от нейната дължина;

построяване на вписана окръжност изисква пресечна точка на най-малко 3 допирателни. Отсечката 12 диагонал в делтоида го разделя на два еднакви триъгълника и следователно е ъглополовяща на двата срещулежащи ъгъла, търси се пресечна точка (на чертежа т.W с цвят син) на ъглополовящата на един от правите ъгли в делтоида (с връх 4 или връх 5) с диагонала 12;

дължина на радиус за вписаната окръжност се изчислява по алгоритъм разстояние на точка (т.Q) до отсечка (24);

построява се вписана окръжност с посочените координати за център и изчислената дължина на радиус.

Ако двете окръжности на бицентичния четириъгълник изпълняват условието вписаната окръжност да е изцяло в описаната  окръжности, тогава всяка точка на описаната окръжност може да бъде връх вписан и описан четириъгълник имащ еднакви вписана и описана окръжност - свойство от поризъм на Poncelet.

Вариант на алгоритъма е чрез ползване на НДУ за n-ъгълник:

НДУ за вписан n-ъгълник (съществуване на описана окръжност) е обща пресечна точка на симетралите към всяка от страните.

НДУ за описан n-ъгълник  (съществуване на вписана окръжност) е обща пресечна точка на на ъглополовящите към всеки от ъглите.

Прочетете допълнителна информация за: четириъгълник, описан четириъгълник, вписан четириъгълник,  делтоид,  окръжност, теорема на Брахмагупта, теорема на Питот, вписана окръжност.