окръжности Midway

Задачата окръжности Midway (Midway circles) е част от множеството за архимедови окръжности. Разглеждат се две двойки архимедови окръжности, чийто център се определя от: а) пресечната точка на средната дъга с малките дъги от референтния абелос и б) диаметърът се определя от отсечка с начало пресечната точка на голямата дъга арбелоса и дъга с удвоения радиус и край ортогоналната проекция на началната точка върху основния перпендикуляр.

Оригналното име на задачата е Midway semicircle circles, представена е от Floor van Lamoen.

Алгоритъмът на построителната задача окръжности Midway съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

извършват се корекции на координати за т.B, така че отсечката AB да бъде успоредна на абсцисната ос;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.C върху отсечката AB;

изчисляват се координати за център и радиуси на дъгите в референтнтния арбелос:

лява дъга: радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: радиус Rb = BD/2 и център т.F (DF = BF);

основна дъга: радиус R = AB/2 = (Ra+Rb)/2 и център т.O (AO = BO);

средна дъга: радиус Rs = AB/4 = (Ra+Rb)/4 и център т.Q (EQ = FQ);

изчислява се дължина на радиус за архимедова окръжност: Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната ос AB в арбелоса и диаметър на основната дъга;

последователно се построяват основната, средната и двете малки дъги;

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.C, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ AB), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

построяват се последователно две допълнителни дъги с център A, B и радиус равен на диаметъра за съответната малка дъга;

последователно се изчисляват координати на пресечните точки K, M, U, V  - по алгоритъм пресечни точки между две окръжности;

последователно се изчисляват координати на ортогоналната проекция за пресечните точки K, M, U, V върху перпендикуляра CD;

последователно се изчисляват дължини на отсечките между пресечните точки и техните ортогонални проекции, всяка от дължините се сравнява с радиус/диаметър на архимедова окръжност - получените конгруентни стойности са и търсеното доказателство в задачата окръжности Midway;

с вече изчислените координати за център и дължина на радиус последователно се построяват 4-те архимедови окръжности.

Докажете или оборете твърдението, че а)пресечните точки K, M са с конгруентни координати на допирните точки на на допирателни към допълнителните дъги с удвоен радиус, б)пресечните точки U, V са с конгруентни координати на допирните точки на на допирателни с начало център на съседната дъга. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: арбелос и окръжности на Power, окръжности в среда на дъга, архимедови окръжности.