херонов триъгълник

Хероновият триъгълник  (Heronian triangle, Fleenor-Heronian triangle) има стойности за дължини на страни, периметър и лице само естествени числа. Правоъгълен триъгълник с дължина на катет четно число и дължини на страните образуващи питагорова тройка е и херонов триъгълник. Не всички херонови триъгълници могат да се образуват чрез слепване на два правоъгълни триъгълника. Пример: равнобедрения триъгълник със страни 15,15,18 (слепени два правоъгълни триъгълника със страни 9,12,15) има лице 108 и е триъгълник на Херон.

Примери за слепване на питагоровата тройка {3,4,5) са тройките числа (5,5,2*3}  {5,5,2*4}. На адрес: триъгълник на Херон са представени описание, програма за извеждане на редицата с числа, както и набор стойности за страни в херонов триъгълник.

Алгоритъм на построителната задача херонов триъгълник се състои от следните стъпки:

реализира се генератор за стойности на елементите в числовите редици за дължини на страни в хероновия триъгълник;

посочват се координати на две точки А, В;

изчислява се разстоянието между двете точки и от съхранените данни се избира най-близката стойност за най-голямата дължина на страна - алгоритъм за търсене на минимален елемент от редица;

коригират се координатите на втората въведена точка т.В;

с център т.А се построява окръжност с радиус по-късата страна на триъгълника;

с център т.В се построява окръжност с радиус средната по дължина страна на триъгълника;

изчисляват се координатите на едната пресечна точки между двете окръжности - връх С на търсения херонов триъгълник.

Подобен алгоритъм е разгледан в:  ортогонални окръжности, и в построяване на триъгълник по три страни.

Триъгълникът Super-Heronian (Super-Heronian Triangles) е триъгълник изпълняващ условията за  херонов триъгълник, но дължините му са три последователни естествени числа.  Примери: 3,4,5; 13,14,15; 51,52,53.... Дължината на най-малката страна от всички такива питагорови тройки може да се представи чрез рекурентна формула. Генерирането на числовата редица е подобно на описанието в числа на Lucas.

Алгоритъмът за построяване триъгълник Super-Heronian е свързан с: а) построяване на триъгълник по страна и два прилежащи ъгъла и б) изчисляване на числа от редицата Super-Heronian.

посочват се два точки - за ъгъл на наклон за най-малката страна;

избира се номер елемент от редицата с числа на Super-Heronian и съответно се изчисляват дължините на страните a,b,c;

разстоянието между двете посочени точки (a - дължината на отсечката)  се адаптира съобразно избраната стойност като се запазва посочения и изчислен ъгъл на радиус вектора;

изчислява се периметъра на бъдещия триъгълник (съответно и полупериметъра p);

чрез формула на Херон се изчислява лице на триъгълника S;

изчислява се R радиуса на описаната окръжност чрез познатата формула R = a*b*c/(4*S)

чрез синусова теорема се изчисляват ъглите в триъгълника (α,β,γ);

Като използвате алгоритъм за ориентирано лице на триъгълник изчислете лице и периметър на построения триъгълник. Отчетете факта, че високата разделителна способност на екрана и близките стойности за дължини на страните правят триъгълника на Super-Heronian трудно различим от равностранен триъгълник.

Теоретични разработки за херонов триъгълник има от Euler, Brahmagupta и Carmichael. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: питагоров триъгълник, питагорови тройки, теорема на Питагор, триъгълник на Kepler, разбиване на число.