окръжност

Окръжност е затворена крива, и представя множество точки в дадена равнина, стоящи на еднакво  разстояние от точка, принадлежаща на същата равнина. Точката се нарича център на окръжността. 

Радиус - разстоянието от центъра на окръжността до нейна произволна точка.

Диаметър - най-голямото разстояние между две точки от дадена окръжност.

Дъга - част от окръжност, ограничена от две точки. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър. Октантна дъга - част от окръжност с център началото на координатната система и ограничена от две координатни оси.

Кръгов сектор - част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга. Лице на кръгов сектор S = απR^2/360, където α е централният ъгъл на сектора в градуси.

Хорда - отсечка, съединяваща две точки от окръжност. Свойства:

Диаметърът е хорда, преминаваща през центъра на окръжността, хордата с най-голяма дължина в дадена окръжност е нейният диаметър;

Перпендикулярът през средата на хорда преминава и през центъра на същата окръжност - доказателството се извежда чрез равнобедрен триъгълник с бедра, радиуси на същата окръжност;

Хорди от окръжност с равни дължини са равно отдалечени от нейния център - доказателството се извежда чрез равнобедрени триъгълници със страни хорда и два радиуса;

Обща хорда - отсечка, съединяваща две точки принадлежащи едновременно на две или повече окръжности.

Сегмент - част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда. 

Допирателна (тангента) - права, имаща само една обща точка с окръжност, в случая точката се нарича допирна. Допирателната е перпендикулярна на радиуса в точката на допиране.

Секуща - права, която има две общи точки с окръжност.

Ъгли в окръжност:

Централен ъгъл на окръжност - ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността и рамена - радиуси на същата окръжност. Може да бъде изчислени и като отношение между дължината на дъгата L и радиуса на  окръжност ϕ = L/R. Формулата се извежда от L =  ( ϕ / 2π) * 2πR

Допълнителен ъгъл - сумата от централен ъгъл и неговия допълнителен е 360°.

Вписан ъгъл - ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи. Срещулежащият централен ъгъл към хорда е равен на удвоения вписан ъгъл към нея. Твърдението може да бъде илюстрирано чрез вписан правоъгълен триъгълник - ако хипотенузата на триъгълника е централен ъгъл в окръжността със стойност 180°, то стойността на срещулежащия ъгъл (правия ъгъл в триъгълника) и вписан ъгъл в окръжността е   90° (0.5*π радиана).

Периферен ъгъл - ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към окръжността, а другото пресича същата окръжност.

Вписан ъгъл е равен на периферен ъгъл с връх една от пресечните точки рамо на вписания ъгъл и окръжността. Доказателството се извежда с тяхната обща дъга.

Връзката между вписан ъгъл и централен ъгъл с обща хорда се извежда чрез ъгъла на дъгите отсечени от рамената им.

Окръжност може да се представя с едно нелинейно уравнение X^2 + Y^2 = R^2, а като резултат на предходни изчисления с три линейни уравнения за координати на центъра O(x,y) и дължина на радиус R.

Теореми, формули, често срещани алгоритми и интересни задачи:

Синусова теорема - разглежда връзката между радиус на описана окръжност около триъгълник, дължина на страна и стойност на функция синус от срещулежащия ъгъл.

Теорема на Талес за правоъгълен триъгълник извежда твърдението, че ако центъра на описаната около триъгълник окръжност лежи на негова страна, то той е правоъгълен.

Теорема на Джонсън: ако в остроъгълен триъгълник се построят трите височини (с ортоцентър H), то 3-те окръжности - преминаващи през два различни върха на триъгълник и неговия ортоцентър имат еднакви радиуси.

Теорема на Карно: сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника е равна на сумата на радиусите на описаната и вписаната окръжност в същия триъгълник.

Група задачи (аполониеви задачи) са свързани с построяване на окръжност допираща се едновременно до: три други окръжности - външно или вътрешно,  допираща се до три прави, преминаваща през три точки или комбинация от изброените.

Интересна задача е свързана с дихотомия - изчисляване на център и радиус на окръжност по въведени координати на две крайни точки формиращи хорда и съответната й дъга. Решението налага използване на итеративен/рекурсивен алгоритъм.

Степен на точка (дължина на допирателна) - за т.M външна за окръжност, MT - дължина на допирателната от т.M до T точката на допиране, R - радиус на окръжността, MO - разстоянието от т.M до О центъра на окръжността. Алгоритъм за изчисляване: прилага се теорема на Питагор: MT^2 = MO^2 - R^2.

Теоремата на Ойлер (в геометрията) извежда формулата d^2 = R^2 - 2*R*r- за разстоянието между центровете на описаната и вписаната окръжност в триъгълник, където R е радиус на описаната около триъгълника окръжност, r е радиус на вписаната  в триъгълника окръжност, а d е междуцентровото им разстояние.

Дължина на окръжност, обиколка на окръжност, периметър на кръг: L = 2πR

Лице на кръг S = πR^2

Лице на вписания триъгълник S = 2*sin(A)*sin(B)*sin(C)*R^2

Зависимост между радиусите на външно вписаните окръжности, вписаната  и описаната окръжност в триъгълника при използвани означения - S лице на вписания триъгълник; p - полупериметър; a, b, c - дължини на страни:

радиус на описана окръжност около триъгълник R = a*b*c / 4*S

радиус на вписана окръжност в триъгълник  r = 2*S / (a+b+c),

лице по радиус на вписана окръжности полупериметър S = r*p;

лице по радиус на външно вписана окръжности полупериметър S = Ra*(p - a) = Rb*(p - b) = Rc*(p - c),

лице и периметър по радиус на външно вписани окръжности  Ra*Rb*Rc = p*S 

радиус на външно вписана окръжност към страна: Ra = 2*S / (-a+b+c), Rb = 2*S / (a-b+c), Rc = 2*S / (a+b-c);

суми на радиуси Ra + Rb + Rc = r + 4*R;

суми на радиуси Ra + Rb + Rc - r = abc / S = 4*R;

суми на радиуси r + Rc + Rb - Ra = 4*R*cos(A),  r + Rb + Ra - Rc = 4*R*cos(C),  r + Ra + Rc - Rb = 4*R*os(B);

радиус по дължини на страни и полупериметър  r^2 = (p - a)(p - b)(p - c)/p;

радиуси за окръжности на Soddy за триъгълник:  ra = (-a + b + c)/2; rb = (a - b + c)/2; rc = (a + b - c)/2. Всяка от тези три окръжности се допира до останалите 2 и има за център връх на триъгълника.

Окръжност може да бъде еднозначно дефинирана по: 

координати за център и дължина на радиус; 

по координати на 2 точки - център и крайна точка на радиус; 

по координати на 2 точки - център  и допирна точка; 

по координати на 2 точки - крайни точки на диаметър; 

по 3 точки от равнината A(x,y), B(x,y)  и C(x,y) , които не лежат на една и съща права - описана окръжност около триъгълник.

Възможно е координатите на коя да е точка да не бъдат явно декларирани - такива са задачи от типа аполониеви.

Уравнението на окръжност с радиус R и център началото на координатната система е: x^2 + y^2 = R^2. То е и в основата на следващите алгоритми.

Разстояние d между точка T с координати (Tx, Ty) и окръжност с център (Ox,Oy) и радиус R: 

d = sqr((Tx-Ox)^2 + (Ty-Oy)^2) - чрез теорема на Питагор

Взаимно положение на точка и окръжност:

точката лежи в окръжността (принадлежи на кръга) d<R;

точката лежи на окръжността (инцидентна с окръжността) d=R;

точката лежи вън от окръжността d>R;

От точка, външна за окръжност, могат да се построят две допирателни. Доказателството за равните дължини между външната точка и всяка от точките за допиране се извършва с доказване еднаквост на два правоъгълни триъгълника. Отсечката, свързваща центъра на окръжността и външната точка се явява ъглополовяща на ъгъла, сключен между двете допирателни.

Взаимно положение на две окръжности от равнината  O с център (Ox,Oy) и радиус Ro и окръжност Q с център (Qx,Qy) и радиус Rq.

междуцентрово разстояние d = sqr((Ox - Qx)^2 + (Oy - Qy)^2)

две окръжности са концентрични, ако d = 0;

две окръжности нямат обща точка за d > Ro + Rq или d < abs(Ro - Rq), когато едната окръжност лежи изцяло в другата;

две окръжности имат една обща точка за d = Ro + Rq (външно) или d = abs(Ro - Rq) (вътрешно) - и в двата случая двата центъра и общата допирна точка са колинеарни;

две окръжности имат две общи точка, ако едновременно d < (Ro+Rq) и  d>abs(Ro-Rq). 

Взаимно положение на права и окръжност:

права и окръжност нямат обща точка, ако d > R, където d е разстоянието от правата до центъра на окръжността;

права и окръжност имат една обща точка, ако d = R. Правата е допирателна към окръжност и е  перпендикулярна на радиуса в общата им точка.

права и окръжност имат две общи точки при d<R - правата е секуща на окръжността.

правата преминава през центъра на окръжността при d=0 (Soab = 0)

Алгоритъм за изчисляване: дължина на перпендикуляр от центъра на окръжността към правата.

дължина на общата част - хорда от окръжност и отсечка на (секуща) права. 

Алгоритъм за изчисляване: използва се факта, че диаметър перпендикулярен на хорда от същата окръжност преминава през средата й. За равнобедрения триъгълник с основа хордата и бедра радиуси на окръжността  се прилага теорема на Питагор: L = 2* sqr(R*R - d*d).

Обща хорда - отсечката MN свързваща пресечните точки на две окръжности  O(x,y), Q(x,y) и съответно с радиуси Ro, Rq.

Разглежда се случая, при които неравенствата: OQ < Ro+Rq, както и OQ > abs(Ro - Rq) се изпълняват едновременно.

Двата триъгълника OQM и OQN са еднакви по III признак.

Алгоритъм за изчисляване: изчислява се лицето на единия триъгълник по формула на Херон. Отсечката MN е удвоената дължина на височината в двата триъгълника.

За две окръжности с център O(x,y), Q(x,y) и съответно радиуси Ro, Rq съществува двойка общи вътрешни допирателни при изпълнение на неравенството за OQ > Ro + Rq.

Алгоритъм за изчисляване:

Разглеждат се два (подобни) правоъгълни триъгълника с коефициента на подобие Ro/Rq и общ връх M - пресечна точка на вътрешната допирателна с отсечката OQ свързваща двата центъра.

OQ=sqr((Ox-Qx)^2+(Oy-Qy)^2)

OM/QM=Ro/Rq

QM=OQ*Rq/(Ro+Rq); 

OM = OQ*Ro/(Ro+Rq)

За две окръжности с център O(x,y), Q(x,y) и съответно радиуси Ro, Rq съществува двойка общи външни допирателни при изпълнение на неравенството:  OQ > abs(Ro-Rq)

Алгоритъм за изчисляване:

Тривиалната задача е при Ro = Rq тогава дължината на общата хорда е равна на междуцентровото разстояние OQ.

Разглежда се правоъгълен трапец с основи 2-та радиуса и височина общата външна хорда. Построява се допълнителен правоъгълен триъгълник с хипотенуза OQ и катет abs(Ro-Rq). Прилага се теорема на Питагор.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: степен на точка, описана окръжност, вписана окръжност, външно вписана окръжност, външна допирателна, вътрешна допирателна, пресичащи се хорди, пресичащи се секущи, взаимно разположение на окръжности.