питагоров триъгълник

Питагоров триъгълник (Pythagorean Triangle), триъгълник на Питагор е вид правоъгълен триъгълник с дължини на страните естествени числа.

От основния извод в теорема на Питагор следва, че правоъгълен триъгълник не може да бъде питагоров триъгълник: 

ако има две равни страни - равнобедрен правоъгълен триъгълник;

ако в правоъгълния триъгълник острия ъгъл има стойност рационално число за градуси.

Алгоритъмът за построителната задача питагоров триъгълник съдържа два основни подалгоритъма: намиране на питагорова тройка числа, построяване на правоъгълен триъгълник с дължини на страните избраната тройка.

С ниска сложност за имплементация е представения (първичен код) алгоритъм с изчерпващо търсене на питагорова тройка дължини на страни в правоъгълен триъгълник, при който се открояват няколко проблема:

възможни са няколко решения за една и съща дължина на хипотенузата по ред причини, като повтаряща се сума от: две четни, две нечетни, четно и нечетно  65^2 = 52^2 + 39^2 = 56^2 + 33^2 = 60^2 + 25^2 = 63^2 + 16^2.

необходимост от елиминиране на част от резултатите при търсене без/със симетрични решения (5^2 = 3^2+4^2 = 4^2+3^2);

С цел по-висока скорост за получаване на решение при по-голям диапазон за търсене е модифицирания алгоритъм на Евклид, представен в питагорови тройки.

Реализираното приложение ползва сортиран масив (две колони) съдържащ стойности на питагорови тройки. Използване на готови библиотечни структури като приоритетна опашка води и допълнителни изисквания.

Подалгоритъмът за построяване на питагоров триъгълник съдържа следните стъпки:

посочват се различни координати на две точки представляващи начало и край на по-малкия катет;

чрез алгоритъм, представен в дистанция се изчислява дължина на катета;

изчислява се ъгъл ϕ сключения ъгъл между отсечката и положителната част от абсцисната ос - по алгоритъм изчисляване наклон на права;

в цикъл се извършва избор за дължина на катет, елемент в масива, по модифициран алгоритъм за търсене на минимален елемент от редица - разликата, е че се търси елемент с минимална разлика по абсолютна стойност;

извършва се корекция на дължината на построената отсечка (BC) съобразно избраните данни от масива, но се запазва началната точка B и изчисления ъгъл ϕ;

в точка C се построява перпендикулярната отсечка AC с дължина - стойност от масива;

построява се отсечка AB - хипотенуза в търсения питагоров триъгълник.

Примерни задачи за питагоров триъгълник изискващи умения за работа с рекурсия и итерация при търсене в структури от данни:

Намерете такава двойка триъгълници на Питагор съответно с дължини на страните {a,b,c} и {d,e,f),  които удовлетворяват условията: 

двойка равни страни {a = d} и едновременно минимална разлика за друга двойка страни abs(b-e); Примери: {145:144:17} : {145:143:24};   {185:175:60} : {185:176:57};

сумата от дължините на двойка съответни страни да дава точен квадрат или стойност близка до него. Пример: {25,24,7} : {95,76,57}

за които има равенство между дължините на несъответстващи страни от двата триъгълника. Пример: правоъгълен триъгълник със страни 3,4,5 и друг правоъгълен триъгълник със съответни страни 5,12,13 - в случая стойност 5 е еднаквата дължина.

Намерете всички триъгълници на Питагор (в определен числов интервал), за които : 

всяка двойка страни са взаимно прости числа. Пример: {3,4,5} използвайте алгоритъм на Евклид;

всички страни имат общ делител просто число. Пример: {51,45,24}

двойка страни са числа близнаци - съседни прости. Пример: {3,4,5}, {61,60,11}.

Правоъгълен триъгълник е и херонов триъгълник, ако има дължина на катет четно число и дължини на страните образуващи питагорова тройка.

специфичен вид триъгълник е триъгълникът на Kepler (Kepler triangle), имащ отношение между дължините на страните 1 : 1.272 : 1.618  = 1 : sqr(ϕ) : ϕ, където ϕ е число на Фидий. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: права, спирала на Питагор, теорема на Питагор, Питагорова тройка числа, питагорови числа, херонов триъгълник, триъгълник на Kepler.