теорема на Routh

В теорема на Routh (Routh's theorem) се разглежда триъгълник ABC и недианите AD, BE, CF и техните пресечни точки P, R, Q. Извежда се отношение между лицата Sabc, Sprq на референтния триъгълник триъгълник и триъгълника образуван от пресичането на три недиани.

Петата на всяка недиана AD, BE, CF дели срещулежащата страна в отношение x = CD:BD; y = AE:CE; z = BF:AF. Отношението между лицата на триъгълника ABC и лицето на образувания вписан триъгълник PQR, с върхове пресечните точки на недианите, може да бъде представено като:  ((x*y*z-1)^2) /((x*y + y + 1)*(y*z + x + 1)*(z*x + x + 1)).

Частният случай за отношение на двете лица 7:1 при x=y=z=2 е били известен преди публикуване на теоремата.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Routh включва следните стъпки:

въвеждат се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на референтния триъгълник;

въвеждат се допълнителни три точки в близост до всяка от страните;

в цикъл се изчисляват и означават пресечните точки на отсечките: страна на триъгълник и отсечката свързваща срещулежащия връх и една от въведените допълнителни точки - на чертежа с цвят син D, E, F;

в цикъл се изчисляват и означават пресечните точки на трите недиани - на чертежа с цвят лилав P, Q, R;

чрез алгоритъм за изчисляване разстояние между две точки се изчисляват отношенията  x = CD:BD; y = AE:CE; z = BF:AF;

чрез алгоритъм за изчисляване ориентирано лице се изчисляват лицата на двата триъгълника ABC и PQR;

сравнява се отношението между изчислените стойности на лицата и се сравнява с теоретично изведения резултат.

Доказателство за теорема на Routh може да бъде извършено чрез теорема на Менелай.

Начина на построяване поражда и въпроси: как би изглеждал резултатът при тъпоъгълен триъгълник, какво би станало, ако въвежданите допълнителни точки представляват едновременно пета на височина, медиана, ъглополовяща или симедиана?

Задачата е от областта на занимателната геометрия и чертежът представя как би изглеждал вписаният триъгълник, ако поредната недиана е съответно медиана, ъглополовяща и височина към последователните страни.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Чева, недиана, теорема на Менелай.