доказателство с медиана и височина

В задачата доказателство с медиана и височина се разглежда правоъгълен триъгълник ABC с построени външно квадрати BCED, ACGF към двата катета. Образуван е нов правоъгълен триъгълник еднакъв с референтния EGC. Построени са поотделно медиана CM и височина CH в двата триъгълника. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез подобни правоъгълни триъгълници и равенство на площи.

Алгоритъмът за строеж на конструкцията в задачата доказателство с медиана и височина ползва построените средни отсечки MN, MK за извеждане коефициент на подобие, построените височина CH и медиана CM за и доказването на инцидентност с височината MH на триъгълника MEG. Последователните стъпки в алгоритъма са:

по посочени три не колинеарни точки се построява референтния правоъгълен триъгълник ABC с възможна корекция за координатите на последната въведена точка;

последователно се построяват квадрати BCED, ACGF външно към съответния катет;

построява се отсечка EG - хипотенуза в правоъгълния триъгълник EGC ≅ ABC;

построява се отсечка EM - страна в триъгълника EMC;

построява се отсечка GM - страна в триъгълника GMC;

построява се височина CH към  хипотенузата CH ⊥ EG;

последователно се изчисляват координати за пета на медиана към съответната страна - точки K,M,N;

построява се  отсечка CM - медиана към хипотенузата AB и следователно CM/AB/2 (от теорема на Талес);

построява се  отсечка MK - MK ⊥ BC за височина в триъгълника GMC и средна отсечка в ABC, така MK = AC/2;

построява се  отсечка MN - MN ⊥ AC за височина в триъгълника EMC и средна отсечка в ABC, така MN = BC/2;

триъгълниците MBC и MAC са равнобедрени с основа съответния катет, бедра CM = AM = BM = AB/2 и равни ъгли при основите ∢MAC =  ∢ACM и ∢MBC = ∢MCB;

за правоъгълния триъгълник EGC ≅ ABC (∢CGE = ∢BAC, ∢CEG = ∢ABC) височината CH към хипотенузата го разделя на два подобни триъгълника CGH ≈ CEH (∢CGE = ∢ECH, ∢CEG = GCH);

налице е равенство на срещулежащите ъгли с общ връх т.C;

от предходните стъпки следва колинеарност на точките M, C, H и MH ⊥ GE - MH е височина в триъгълника MEG;

Smeg = EG*(CM+CH)/2 ;

Smeg = AB*(AB/2 + CH)/2;

Smeg = AB*(AB + 2*CH)/4;

Smeg = Segc + Smcg + Smce;

AB*(AB + 2*CH)/4 = (GE*CH/2 ) +(CG*MK)/2 + (CE*MN/2);

AB²/4 + AB*CH/2 = AB*CH/2 + (AC*AC/2)/2 + (BC*BC/2)/2;

AB²/4 = AC²/4 + BC²/4;

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

В задачите доказателство на Хюйгенс и доказателство на Леонардо да Винчи основен елемент са перпендикулярните отсечки: диагоналите на квадратите към двата катета и ъглополовящата на правия ъгъл в референтния триъгълник.

Отсечката MH е maltitude за четириъгълника ABEG.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Хюйгенс, доказателство на Леонардо да Винчи, maltitude.