височина

Височина в триъгълник е перпендикулярната отсечка от връх на триъгълника към срещулежащата му страна. Височините се пресичат в точка наречена ортоцентър - на чертежа петите на височините и ортоцентъра са в цвят син.

Позиция на ортоцентър в зависимост от вида ъгли на триъгълника: 

ортоцентърът принадлежи на триъгълника при остроъгълен триъгълник;

ортоцентърът лежи на връх (на върха на правия ъгъл) при правоъгълен триъгълник;

ортоцентърът лежи извън триъгълника, ако е той тъпоъгълен. 

Това може да бъде доказано чрез алгоритъм за принадлежност на точка към триъгълник и е основното твърдение в теорема на Талес - описана окръжност.

Дължината на височината е най-малкото разстояние между връх на триъгълник и срещулежащата му страна - следствие: перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена.

Височина към основата на равнобедрен триъгълник е едновременно медиана към основата и ъглополовяща на срещулежащия на основата ъгъл.

В правоъгълен триъгълник страните образуващи рамената на правия ъгъл се наричат катети, а срещулежащата страна хипотенуза. Всеки от двата катета е и височина към другия катет.

Петата на перпендикуляра от центъра на описаната окръжност към страна на триъгълника е в средата на съответната страна -  свойство на симетрала.

Една от най-старите известни задачи за измерване на височина на недостъпен обект е обобщената  теорема на Талес за пропорционални отсечки.

Най-често срещана формула за лице на триъгълник използва полупроизведението от дължините страна и височина към нея - доказателството е два правоъгълни триъгълника с обща страна разглежданата височина.

дължина на ha височина към страна е равна на отношение между произведението на другите две страни и диаметъра на описаната окръжност ha=b*c/(2*R);

pa/ha + pb/hb + pc/hc = 1, където ha, hb, hc са височини към съответните страни, а pa, pb, pc са разстоянията между точка P и съответните страни на триъгълника;

реципрочната стойност на радиуса на вписаната окръжност е равен на сумата от реципрочните стойности на височините в триъгълника: 1/r  = 1/ha + 1/hb + 1/hc;

дължина на височина може да бъде изчислена чрез формула на Херон за лице на триъгълника ha = 2*sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))/a;

Интересни задачи свързани с височина:

За произволен триъгълник от равнината 9-точковата окръжност разполовява частта на височината заключена между връх на триъгълник и ортоцентъра. Особен случай има при правоъгълен триъгълник, където ортоцентъра съвпада с върха срещу хипотенузата.

Страната на триъгълник разполовява отсечката от височината, заключена между ортоцентъра и пресечната точка на височината с описаната окръжност - петата на височината е среда на отсечката.

Ако от пета на височина се построят перпендикулярни отсечки към страните принадлежащи на срещулежащия ъгъл и перпендикулярите към другите два страни, то пресечните им точки със страните и височините са колинеарни.

Ако в остроъгълен триъгълник ABC с височини AD, BE, CF се построи отсечка EF свързваща петите на две височина (CF, BE) и от петата на едната височина CF се построят перпендикулярни отсечки (FM, FN) към другите две страни, то отсечката MN разполовява отсечката EF.

От теорема на Viviani може да се изведе равенството за сума от реципрочните стойности на височини: 1/ha + 1/hb + 1/hc = 1/r

Съществува твърдение, че ортоцентърът в триъгълника дели височините на отсечки, така че произведението на дължините им има константна стойност. Задачата е: ако в триъгълник ABC с ортоцентър H и височини са AL, BM, CK да се представи нагледно доказателство, че отношенията AH/BH = HM/HL = AM/BL са конгруентни.

Проверете изчислителната устойчивост на формулата при тъпоъгълен триъгълник с висока стойност на отношението (най-голям ъгъл/най-малък ъгъл)  на вътрешните ъгли в триъгълника. 

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, симетрала, ъглополовяща, медиана, бимедиана, 9-точкова окръжност, ортоцентър.