точка на Беван

Точка на Беван (Bevan point) в произволен триъгълник ABC е център на окръжността, преминаваща през центровете на трите външно вписани окръжности на референтния триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Беван съдържа следните стъпки:

посочват се координатите на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

изчисляват се координати на център  т.О и дължина на радиус и се построява описана окръжност;

изчисляват се координати на център  т.Q и дължина на радиус и се построява вписана окръжност;

в цикъл се изчисляват координати на център и стойност на радиус и се построява поредната външно вписана окръжност (на чертежа в синьо) - чрез подалгоритми от намиране елементи на триъгълник;

в цикъл, последователно се изчисляват координати на допирните точки (Ta, Tb, Tc на чертежа в синьо) между страна на триъгълника и съответната външно вписана окръжност - по алгоритъм разгледан в допирателна;

изчисляват се координати за пресечна точка т.V на правите преминаващи през център на външно вписана окръжност и допирната ѝ точка със страна на триъгълник - търсената точка на Беван.

Докажете, че отсечката ортоцентър  - точка на Беван се разполовява от център на Spieker.

Докажете верността на равенството QO = QV  = √(R² - (a*b*c)/(a+b+c)) за произволен триъгълник. 

В задачата точка на Нагел (Nagel point) се разглежда пресечната точка на отсечки свързващи допирните точки на външно вписана окръжност със срещулежащ връх на референтния триъгълник.

Други интересни задачи, свързани с външно вписана окръжност, са: точка на Аполоний, триъгълник Hexyl, външно централен триъгълник (Excentral Triangle)...

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник на Bevan, окръжност на Bevan, точка на Нагел, точка на de Longchamps, вписана окръжност.