теорема на Marion

В теорема на Marion (Marion's Theorem) се разглежда триъгълник ABC, за който от всеки връх са построени отсечки делящи срещулежащата страна на три равни части. Пресечните точки на всяка двойка отсечки са върхове на изпъкнал шестоъгълник DEFGHI. Извежда се нагледно доказателство, че стойността на отношението между лицето на референтния триъгълник Sabc и съответното лице на образувания шестоъгълник Sdefghi много слабо се влияе от вида ъгли и дължини на страни.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Marion съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки и се построява референтния триъгълник;

в цикъл се разделя всяка страна на отсечки с равна дължина като предварително се изчислява дължината на поредната страна и нейния ъгъл на наклон;

за всяка страна на референтния триъгълник се избират две точки, отстоящи на равни разстояния от крайните точки на разглежданата страна;

постояват се отсечки свързващи връх на триъгълника с изчислените координати на двете точки;

в цикъл се изчисляват координати за връх на 6-ъгълника като пресечна точка между всяка съответна двойка недиани - на чертежа пресечните точки са в червен цвят;

изчислява се лице на изпъкналия 6-ъгълник - чрез ориентирано лице или метод на трапеците;

изчислява се лице на референтния триъгълник по алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник;

изчислява се и извежда отношението на изчислените две лица (триъгълник и шестоъгълник) - отклонение от  10:1 е в диапазона на допустимата изчислителна грешка.

С построяване на изпъкналия 6-ъгълник може да се провери твърдението в теорема на Fuhrmann (Fuhrmanns Theorem): ако в изпъкнал шестоъгълник се построи диагонал за всяка двойка срещулежащи страни, така че да свързва началото на всяка от страните то може да бъде изведено равенството: произведението на трите диагонала (x*y*z) е равно на сумата от произведенията на: всяка двойка срещулежащи страни и несвързващия ги диагонал ( a*d*z + b*e*x + c*f*y), на първите три последователни страни (a*b*c) и трите срещулежащи страни (d*e*f).

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: медиана, триъгълник на Morley, теорема на Fuhrmann, триъгълник на Hofstadter.