доказателство на Dobbs

В задачата доказателство на Dobbs се разглеждат два еднакви правоъгълни триъгълника ABC ≅ DEA с общ връх и взаимно перпендикулярни съответни страни. Извежда се доказателство за (формула за дължина на хипотенуза) питагоровата теорема чрез изчисляване лице на: правоъгълен трапец, ортодиагонален четириъгълник и правоъгълен триъгълник. Задачата е елемент от множество подобни задачи.

Алгоритъмът на построителната задача доказателство на Dobbs съдържа следните стъпки:

построяват се еднаквите правоъгълни триъгълници ABC ≅ DEA като AC ⊥ AD, AB ⊥ DE, AC = AD, AE = BC, AB = DE.

построяват се допълнително отсечките BD и BE.

Образуваният четириъгълник AEBD е с перпендикулярни диагонали (AB ⊥ DE).

Вписани в правоъгълния трапец ACBD са: ортодиагонален четириъгълник AEBD и правоъгълен триъгълник BEC:

Sacbd = Saebd + Sbec;

лице на ортодиагонален четириъгълник като полупроизведение на диагоналите: Saebd = AB*DE = AB*AB/2;

лице на правоъгълен триъгълник: Sbec = BC*CE/2 = BC*(AC -BC)/2;

Sacbd =  AB²/2 + BC*AC/2 - BC²/2;

Лице на контура ACBD като правоъгълен трапец:

Sacbd = AC*(AD+BC)/2

Sacbd = AC*(AC+BC)/2 = AC²/2 + BC*AC/2;  

от двете уравнения следва:

AB²/2 + BC*AC/2 - BC²/2 = BC*AC/2 + AC²/2;

AB²/2  = BC²/2  + AC²/2;

AB²  = BC²  + AC² - търсеното доказателство.

Ортодиагоналният четириъгълник има най-голямото лице от всички изпъкнали четириъгълници със същата дължина на  диагоналите.

Потърсете допълнителен материал съдържащ доказателства на питагорова теорема чрез  съседни двойки перпендикулярни правоъгълни триъгълници като: доказателство на Zhong и Табит, доказателство на Bhaskara, доказателство на Multatuli, доказателство с правоъгълен трапец, доказателство с ортодиагонален четириъгълник.