ъглополовяща

Ъглополовяща в триъгълник е отсечка разделяща ъгъл на две равни части. Дължината на всяка ъглополовяща се изчислява по формулите:

La = √(b*c - b*c*a²  / (b+c)²) = (2/(b+c)) * √ ( b*c*p*(p-a) ) 

Lb = √(a*c - a*c*b² / (a+c)²) = (2/(a+c)) * √ ( a*c*p*(p-b) ) 

Lc = √(a*b - a*b*c²/ (a+b)²) = (2/(a+b)) * √( a*b*p*(p-c) )

Друго название за ъглополовяща е бисектриса. Свойства на ъглополовяща:

Ъглополовящите на произволен триъгълник се пресичат в една точка -  център на (вътре) вписаната окръжност на триъгълника. Тази точка (incenter) е записана като X(1) в списъка на Encyclopedia of Triangle Centers.

Пресечната точка на ъглополовящите лежи в триъгълника независимо от вида му.

Ъглополовяща на ъгъла срещулежащ на основата в равнобедрен триъгълник е едновременно височина и медиана на основата.

Ъглополовящите на вътрешен и външен ъгъл на триъгълник са взаимно перпендикулярни отсечки - сумата на двата ъгъла е 180°.

Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл отстои на равни разстояния от раменете на същия ъгъл. Вярно е и обратното твърдение: всяка точка лежаща между раменете на даден ъгъл, която е на равни разстояния от тях, лежи и на ъглополовящата на този ъгъл.

В триъгълник петата на ъглополовящата, лежаща върху по-голяма страна, дели по-голям ъгъл. Обратното твърдение също е вярно: в триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

Ъглополовящата с най-голяма дължина дели най-малкия ъгъл, ъглополовящата с най-малката дължина дели най-големия ъгъл;

Ако в триъгълник се построят 3 окръжности, всяка от които инцидентна с два върха на триъгълника и центъра на външно допиращата се окръжност за съответната страна, то групата окръжности са конкурентни окръжности и имат обща пресечна точка центъра на вписаната окръжност - пресечна точка на вътрешните ъглополовящи на референтния триъгълник.

Теорема на Morley: трисектрисата разделя ъгъла на три равни части;

Теорема за ъглополовяща: ъглополовящата AD на вътрешен ъгъл в триъгълник дели срещулежащата си страна в отношение равно на отношението на двете принадлежащи страни BD/CD=AB/AC;

Теорема на Mansion: всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник.

Примерното приложение за нагледно доказателство на представените формули за дължина на  ъглополовяща:

изчислява дължините на страните;

изчислява  съответния ъгъл в триъгълника A1 [радиани];

изчислява наклона на едно от рамената на ъгъла А2;

изчислява координати за пета на ъглополовяща в триъгълник по зададени дължини на страните: изчислява пресечна точка L на отсечка с начало поредния връх на триъгълника, ъгъл на наклон А2+А1/2 и срещулежащата страна;

построява отсечка с начало поредния връх на триъгълника т.A и край т.L;

изчислява дължината на отсечките BL и CL - в случая отсечките, на които страната BC е разделена от ъглополовящата AL;

сравнява отношението между изчислените дължини на рамената на ъгъла и дължините на отсечките.

Чрез приложението да се проверяват отношенията и валидността на формулите за дължина на ъглополовяща.

AB:AC = BL:CL при  равенство на ъглите CAL = BAL

La² = b*c -BL*CL

La = (2/(b+c))*√( b*c*p*(p-a) )

Да се направи проверка дали 3-те ъглополовящи в триъгълник имат обща точка, дали пресечната точка на кои да е две ъглополовящи е инцидентна с третата ъглополовяща.

Нагледно доказателство с ъглополовяща: в триъгълник ABC е построена външно вписана окръжност, допираща до страна BC. Построена е допълнителна окръжност преминаваща през пресечната точка на ъглополовящите т.O и върховете т.B и т.C. Да се докаже, че окръжността преминава през т. Qa - центъра  на външно вписаната окръжност, както и че триъгълникът OBQa е правоъгълен.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използва изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, височина, симетрала, симедиана, медиана, чевиана, трисектриса.