теорема на Fontene

Първата теорема на Fontene е свързана с 9-точковата окръжност на референтния триъгълник.

Ако в триъгълник се построи медиален триъгълник, описаната около него 9-точкова окръжност и педален триъгълник за точка на Чева, както и пресечните точки на страните (или техните продължения) на двата триъгълника (медиален и педален), то отсечките свързващи получените пресечни точки с връх на медиалния триъгълник са конкурентни - имат за обща пресечна точка точката на  Fontene. Тя е и една от две пресечни точки между описаните окръжности около педалния триъгълник и 9-точковата окръжност.

Алгоритъмът на построителната задача представяща нагледно доказателство за теорема на Fontene съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

посочват се координати за точка (т.Т) вътрешна за референтния триъгълник - точка на Чева;

построват се проекциите на т.Т върху страните на триъгълника - т.P,  т.M,   т.N ;

относно построената точка на Чева се построява педален триъгълник PMN, както и неговата описана окръжност - на чертежа в цвят лилав;

построява се 9-точкова окръжност за референтния триъгълник - на чертежа с цвят зелен и център т.9;

в цикъл се изчисляват координати (т.I, т.J, т.K) за пета на медиана - пресечна точка на медиана със съответната страна на триъгълника, както и едната пресечна точка на 9-точковата окръжност със страна на триъгълника;

през петите на медианите се построява медиален триъгълник IJK - на чертежа с цвят зелен;

в цикъл се последователно се изчисляват координати на пресечна точка на страна на медиалния триъгълник със съответната страна на педалния триъгълника;

PM x KI = т.X;

MN x IJ = т.Y;

PN x KJ = т.Z ;

в цикъл се последователно се построяват отсечки (NX, PY, MZ) свързващи  вече построената пресечна точка със съответния връх на медиалния триъгълник

построява се общата пресечна точка (т.F - на чертежа с цвят кафяв) на трите отсечки - основния извод в теорема на Fontene.

Проверете за съществуване на обща пресечна точка между построените отсечките и двете окръжности - 9-точкова и педална.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема SCI, 9-точкова окръжност, окръжности на Malfatti, педален триъгълник, точки на de Villiers.