четириъгълник

Четириъгълник е равнинна фигура с четири страни, не непременно равни. Това е многоъгълник с най-малък брой страни, който може да бъде вдлъбнат - неизпъкнал. Четириъгълникът може да бъде самопресичащ се многоъгълник.

Описана окръжност около четириъгълник - върховете принадлежат на окръжността.

Необходимо и достатъчно условие един четириъгълник да бъде вписан в окръжност е да има равни суми от двойките срещулежащи ъгли - сумата на два срещуположни ъгъла на четириъгълника да e 180 градуса. В окръжност може да се впише квадрат, правоъгълник, равнобедрен трапец, вид делтоид.

Вписана окръжност в изпъкнал четириъгълник - страните са допирателни на окръжността.

Необходимо условие един четириъгълник да бъде описан около окръжност (теорема на Питот - Pitot theorem) е да има равни суми от двойките срещулежащи страни. Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на отсечката свързваща средите на диагоналите му.

Окръжност може да се впише в четириъгълник, само ако е: квадрат, ромб, равнобедрен трапец, делтоид.

Ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб; ако правоъгълник е описан около окръжност, то той е квадрат.

Описана окръжност около четириъгълник може да бъде построена като се построи триъгълник и височините в него. Описаната окръжност преминава през петите на две височини, а центърът й лежи в средата на третата страна.

Съществува едновременно вписан и описан четириъгълник (Bicentric quadrilateral) като: квадрат, правоъгълен делтоид, както и частен случай на равнобедрен трапец.

Интересна задача за бицентричен четириъгълник е извеждане на доказателство че, отсечките свързващи  допирните точки (между срещулежащите страни и вписаната окръжност), са взаимно перпендикулярни. Любопитна подробност едновременно за квадрат, правоъгълен делтоид, едновременно вписан и описан равнобедрен трапец е: а) че двойката отсечки и двойката диагонали са конкурентни - с обща пресечна точка; б) центърът на описаната окръжност разполовява (поне един от) диагоналите. 

Често срещани за задачи за четириъгълник са:

квадрат - правилен 4-ъгълник с равни страни и равни ъгли, равни и взаимно перпендикулярни диагонали, които се разполовяват в пресечната си точка. Тя е и център на вписаната и описаната окръжност, както и център на симетрия; решени задачи с квадрат;

успоредник - две по две страните са успоредни и равни, срещулежащите ъгли са равни, сумите от прилежащите на страните ъгли са равни, диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка и разделят успоредника на два еднакви триъгълника; решени задачи за успоредник;

правоъгълник - две по две страните са успоредни и равни, равни ъгли, равни диагонали и се разполовяват в пресечната си точка, която е и център на описаната окръжност около правоъгълника; решени задачи за правоъгълник;

ромб - страните са равни; срещулежащите страни са успоредни; срещулежащите ъгли са равни; диагоналите са перпендикулярни, разполовяват се в пресечната си точка и са ъглополовящи; решени задачи за ромб;

трапец - две от срещулежащите страни са успоредни, сумите от прилежащите на бедрата ъгли са равни, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продълженията на бедрата са колинеарни;  решени задачи за  трапец;

делтоид - две по две страните са равни, няма успоредни страни, има взаимно перпендикулярни диагонали;

четириъгълник с равни диагонали - такива са квадрат, правоъгълник, равнобедрен трапец;

ортодиагонален четириъгълник (с взаимно перпендикулярни диагонали) - такива са квадрат, ромб, делтоид;

средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник - теорема на Вариньон (Pierre Varignon);

в изпъкнал четириъгълник ABCD с пресечна точка на диагоналите т.О съществува равенство между произведенията от лицата на триъгълниците: Saod * Sboc = Sabo * Scdo.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: трапец, квадрат, ромб, правоъгълник, успоредник, тригонометрични функции, окръжност, теорема на Бретшнайдер (Bretschneider's theorem) - косинусова теорема за четириъгълник, теорема на Питагор, синусова теорема, делтоид.