медиана

Медиана (в триъгълник) е отсечка свързваща връх със среда на срещулежащата страна.

Свойства:

от определението следва, че петата на медиана е в средата на страната и нейните координати се определят като средно аритметична стойност от координатите на върховете;

пресечната точка на медианите т.M (медицентър) разделя всяка медиана на отсечки, чиито дължини са в отношение 2:1 считано от върха;

медицентърът са нарича също и център на тежестта - координатите му могат да бъдат изчислени чрез координатите на трите върха на триъгълника: 

Mx = (Ax+Bx+Cx)/3

My = (Ay+By+Cy)/3

медицентърът винаги лежи в триъгълника независимо от вида му, той е записан като номер X(2) в Encyclopedia of Triangle Centers;

всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника - лицата и на двата триъгълника се определят от полупроизведението на височината към срещулежащата страна и половината дължина от същата страна;

Дължина на медиана (в триъгълник) представена чрез страни - следствие от теорема на Стюарт:

AM = 0.5*sqr(2*AB² + 2*AC² - BC²) 

BM = 0.5*sqr(2*AB² + 2*BC² - AC²) 

CM = 0.5*sqr(2*AC² + 2*BC² - AB²) 

Ако всяко от горните уравнения се повдигне на втора степен, то сумата от квадратите на медианите в триъгълник е равна на 3/4 от сумата от квадратите на страните в същия триъгълник.

Дължина на страна представена чрез медиани: AE, BF, CG

AB =2*sqr(2*AE² + 2*BF² - CG²)/2

BC =2*sqr(2*BF² + 2*CG² - AE²)/2

AC =2*sqr(2*CG² + 2*AE² - BF²)/2

Следствие от теорема на Аполоний - дължина на страна представена чрез медиани: AE, BF, CG

AB² + AC² = 2*(AE²+BE²)

Медиана към основата на равнобедрен триъгълник е едновременно височина към основата и ъглополовяща на срещулежащия на основата ъгъл.

Дължината на медиана към хипотенуза в правоъгълен триъгълник е и дължина на радиуса на описаната окръжност около същия триъгълник - теорема на Талес.

Може да бъде изведена интересна формула за S лице на триъгълник силно напомняща на формула на Херон:

S = (4/3)*sqr(m*(m - ma)*(m - mb)*(m - mc)), за ma, mb, mc медиани към съответните страни и m = 0.5*(ma + mb +mc).

Бимедиана е отсечка в 4-ъгълник свързваща средите на срещулежащи страни - теорема на Вариньон (Varignon theorem)

Потърсете допълнителна информация за връзка между медицентър и други забележителни точки в триъгълник.

Създайте проект, чрез който можете да докажете или отхвърлите твърдението: чрез медицентър т.M триъгълника ABC може да бъде разделен на 3 двойки равнолицеви триъгълника с върхове: пета на медиана, медицентър и връх на референтния триъгълник. За втората задача използването на ориентирано лице е подходящ избор за доказване на конгруентни стойности. Докажете, че триъгълника ABC може да бъде разделен на три равнолицеви триъгълника с върхове: медицентър и два върха от референтния търиъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използва изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: триъгълник, ъглополовяща, симетрала, височина, симедиана, чевиана, медицентър, бимедиана.