триъгълник

Триъгълник е вид изпъкнал многоъгълник, равнинна фигура с три страни, три върха представящи пресечната точка на две съседни страни.

Графиката представя триъгълник, височини към страните - в синьо; ъглополовящи и външно вписаните окръжности - в червено, симетрали и описаната окръжност - в лилаво.

В следващите формули използваните означения са както следва: малки латински букви a, b, c - страни на триъгълника и техните дължини; големи латински букви A, B, C - върхове на триъгълника;  голяма латинска буква P - периметър на триъгълник (сума от дължините на страните); малка латинска буква p - полупериметър на триъгълника; голяма латинска буква S - лице на триъгълника; R - радиус на описаната окръжност; Ra, Rb, Rc - радиуси на външно вписаните окръжности; r - радиус на вписаната окръжност.

периметър на триъгълник P = a + b + c и съответно полупериметър p = 0.5*(a + b + c)

лице на триъгълник по страна и височина към нея:  S = 0.5*a*ha = 0.5*b*hb = 0.5*c*hc

ориентирано лице на триъгълник S = 0.5*abs(Ax*By + Ay*Cx + Bx*Cy - Cx*By - Cy*Ax - Bx*Ay), където Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy са координати на върховете му. В зависимост от посоката на обхождане сумата от произведения може да бъде и с отрицателен знак. Формулата се извежда като решение на детерминанта.

лице на триъгълник по формула на Херон: S = sqr(p*(p - a)*(p - b)*(p - c))

лице на триъгълник по дължини на две страни и ъгъл между тях S = 0.5*b*c*sin(α) = 0.5*a*c*sin(β) =  0.5*a*b*sin(γ)

лице на триъгълник по страни и радиус на описана окръжност S = 0.25*a*b*c / R;

лице на триъгълник по страни и радиус на вписана окръжност  S = 0.5*r*(a + b + c);

лице на триъгълник по страни и радиус на външно вписаната окръжност към една от страните:  S = 0.5*Ra*(-a + b + c) = 0.5*Rb*(a - b + c)  = 0.5*Rc*(a + b - c);

Представяне дължини на страните a, b, c по отношение на радиуси rа, rb, rc на взаимно допиращите се окръжности с център връх на триъгълник (окръжности на Соди).

a = Rb + Rc; Ra = (-a + b + c)/2

b = Ra + Rc; Rb = (a - b + c)/2

c = Ra + Rb; Rc = (a + b - c)/2

лице на триъгълник по радиус на Соди окръжности S = sqr(ra*rb*rc*(ra+rb+rc))

Задачата за изчисляване координати на забележителни точки в триъгълник най-често е свързана с:

проверка за колинеарност на 3 точки, проверка за инцидентност на точка и отсечка - удобен алгоритъм е изчисляване на ориентирано лице;

пресечна точка на две прави, права и окръжност, две окръжности - такива са задачите за изчисляване пета на медиана, височина, ъглополовяща; дължина на хорда като част от секуща; точка на допиране, координати за център на вписана окръжност (пресечна точка на ъглополовящи), център на описана окръжност (пресечна точка на симетрали) и др.

Сумата от дължините на две страни в триъгълник е по-голяма от дължината на третата - нагледното доказателство е и алгоритъм за построяване на триъгълник по дължини на три страни.

Дължина на страна представена чрез медиани:

a = (2/3) * sqr(-Ma^2 + 2*Mb^2 + 2*Mc^2)

b = (2/3) * sqr(2*Ma^2 - Mb^2 + 2*Mc^2)

c = (2/3) * sqr(2*Ma^2 + 2*Mb^2 - Mc^2)

Дължина на страна представена чрез височини и ъгли

a = hc/cos(β) = hb/cos(γ)

b = ha/cos(γ) = hc/cos(α)

c = hb/cos(α) = ha/cos(β)

Вид на триъгълник, спрямо ъгли, имащ за най-дълга страна "c" - (теорема на Талес):

остроъгълен триъгълник: c^2  < a^2 + b^2; центърът на описаната окръжност лежи в триъгълника; както и  a + b + c > 4* R + 2*r;

правоъгълен триъгълник: c^2  = a^2 + b^2; центърът на описаната окръжност лежи на най-дългата страна и я разполовява; както и  a + b + c = 4* R + 2*r при отчитане допустимата грешка от закръгление;

тъпоъгълен триъгълник: c^2  > a^2 + b^2; центърът на описаната окръжност лежи извън триъгълника; както и  a + b + c < 4* R + 2*r.

Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е 180 градуса, π радиана . 

Най-късото разстояние между центъра на описаната окръжност и страна в триъгълника е с най-дългата страна.

Вид на триъгълник спрямо страни:

разностранен - няма две равни страни, може да бъде остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен;

равнобедрен - по условие има две равни страни или два равни ъгъла или две равни по дължина ъглополовящи, може да бъде остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен

равностранен - по условие има три равни страни и/или три равни ъгъла или три равни линейни дължини от един и същи вид, може да бъде само остроъгълен.

Основни теореми с тригонометрични функции:

синусова теорема - отношения между дължина на страна и (синус от) срещулежащия ъгъл: a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2*R

косинусова теорема:

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(α)

b^2 = a^2 + c^2 - 2*a*c*cos(β)

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(γ)

Признаци за еднаквост:

Два триъгълника са еднакви, ако съответните им страни и ъгли са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:

I-ви признак: ако в триъгълник дължините на две страни и ъгъла заключен между тях са съответно равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви;

II-ри признак: ако два ъгъла и страна на триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

III-ти признак: ако трите страни на триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

IV-тия признак за еднаквост се свързва с правоъгълен триъгълник: ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Признаци за подобие:

Два триъгълника са подобни, ако ъглите на първия триъгълник  са равни на ъглите на другия и дължините на страните съединяващи върховете на равните ъгли, са пропорционални. Има три признака за подобие на триъгълници:

I-ви признак: ако едновременно два ъгъла от един триъгълник са равни на съответни два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

II-ри признак ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.

III-ти признак ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник с еднакъв коефициент на пропорционалност, то триъгълниците са подобни.

Параметрично решение на типови задачи е представено в лице на триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използва изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: симетрала, височина, медиана, ъглополовяща, симедиана,  чевиана. От референтния триъгълник могат да се получи специфичен вид триъгълник като:

външно допирателен триъгълник (extangens triangle) - върхове в пресечните точки на 3-те външни допирателни към външно вписаните окръжности;

външно централен триъгълник (excentral triangle) - върхове в центровете на трите външно вписани окръжности;

външно допирен триъгълник (extouch triangle) - върхове в допирните точки на трите външно вписани окръжности;

вътрешно допирателен триъгълник (Intangents triangle) - страните му лежат на вътрешните допирателни към външно вписаните окръжности;

контактен триъгълник (contact triangle) - върхове в допирните точки на вписана окръжност;

допирателен триъгълник (tangential triangle) - страните му са допирателни на описана окръжност;

медиален триъгълник (medial triangle) - върховете му са пети на медианите на триъгълник;

триъгълник от среда на дъга (Mid Arc Triangle) - с върхове пресечните точки на ъглополовящите на референтния триъгълник с вписаната в него окръжност.