описан четириъгълник

Основна характеристика на описан четириъгълник или допирен четириъгълник (tangential quadrilateral) е, че страните му се допират до дадена окръжност. Необходимо и достатъчно условие изпъкнал четириъгълник да е описан около окръжност е да има равни суми на двете двойки срещулежащи страни. Друго условие за вписване на окръжност в четириъгълник е три от ъглополовящите му да се пресичат в една точка.

Свойства:

от теорема на Питот (Pitot theorem) - изпъкнал описан четириъгълник има равни суми от дължини на срещулежащите си страни; 

центърът на вписана окръжност в четириъгълник лежи на отсечката свързваща средите на диагоналите му - теорема на Newton;

лицето на описан четириъгълник е равно на произведението от неговия полупериметър и радиуса на вписаната окръжност; 

за едни и същи дължини на страни най-голямо лице има едновременно вписания и описан четириъгълник;

за описан четириъгълник съществува равенството между произведенията на радиусите на външно вписаните окръжности на двете двойки срещулежащи страни Ra*Rc = Rb*Rd;

Описан четириъгълник може да бъде: квадрат, ромб, делтоид, равнобедрен трапец с равни суми от дължини на срещулежащи страни. Съществува и не изпъкнал описан четириъгълник изпълняващ изискването 3-те вътрешни ъглополовящи са конкурентни.

На чертежа има равенство в дължините на отсечките: AN = AK; BK = BL; CL = CM; DM = DN и това може да бъде доказано чрез алгоритъма разгледан в степен на точка - като двойка допирателни от точка към окръжност. Тези равенства не са основание, че описания четириъгълник ABCD е делтоид или равнобедрен трапец.

Алгоритъмът за построителната задача описан четириъгълник около окръжност с известен радиус съдържа следните стъпки:

последователно се посочват точка за център (т.О) и и т.Т за определяне дължина на радиус на вписаната окръжност -  дължината на радиуса се изчислява по алгоритъм представен в разстояние между две точки;

посочват се две точки (т.А и т.С) за срещулежащи върхове на четириъгълника, като се изпълняват едновременно изискванията за дължина на отсечките (AO > R, CO > R; AC > 2*R);

последователно се построяват отсечките AN = AK и CM = CL като двойка допирателни от точка към окръжност - алгоритъмът се прилага и в степен на точка;

изчисляват се координати на пресечна точка (т.B) на правите инцидентни съответно с  AK и CL;

изчисляват се координати на пресечна точка (т.D) на правите инцидентни съответно с  AN и CM;

в цикъл точките A, B, C, D се свързват с отсечки - страни на търсения описан четириъгълник.

Допирните точки K, L, M, N са върхове на допирния четириъгълник. Всяка страна на допирния четириъгълник отсича равнобедрен триъгълник от описания четириъгълник.

Построителни задачи и теореми свързани с описан четириъгълник:

От теорема на Помпей: най-голямото разстояние от точка, лежаща на описана окръжност около равностранен триъгълник до негов връх е равно на сумата на разстоянията от точката до другите два върха на триъгълника.

За произволен триъгълник - върховете на 2 височини и техните пети лежат на окръжност с център средата на 3-тата страна (върховете на височините) и радиус половината от дължината й. Доказателството може да бъде изведено и с теорема на Талес.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: четириъгълник, теорема на Брахмагупта, вписана окръжност, японска теорема, теорема на Птоломей.