намиране елементи на триъгълник

 Намиране елементи на триъгълник е често срещана задача. Тя често кореспондира със задачата за изчисляване на забележителни точки в триъгълник.

Триъгълникът е равнинна фигура и негови основни елементи са:

върхове - три точки, нележащи на една права;

страни - отсечки с дължина разстоянието между две точки. Дължината им се изчислява по основната формула от теорема на Питагор, като се използва разликата между координатите на двата върха.

периметър на триъгълник - сума от дължините на страните му P = a + b + c

лице на триъгълник  - площта от равнината, заключена от трите му страни.    Изчислява се чрез ориентирано лице с параметри координатите на отделните върхове: 

S = Abs(ax* by + ay*cx + bx*cy - cx*by - cy*ax - bx* ay) / 2

или по формула на Херон:

S = sqrt(p*/(p-a)*(p-b)*(p-c))

чрез радиусите на външно вписаните окръжности:

S = sqr(r*Ra*Rb*Rc)

ъгъл в триъгълник - с връх една от точките и рамена отсечки, чийто краища са другите две точки. Стойността на синуса от ъгъла се изчислява формулата от синусова теорема:

sin(A) =R/(2*a)

sin(B) = R/(2*b)

sin(C) = R/(2*c)

а самият ъгъл чрез функцията inverse sine -  аркус синус. 

В тригонометрични функции са представени обратните функции.

  височина в триъгълник - най-малкото разстояние между връх на триъгълника и срещулежащата му страна. Изчисляват се по формулите:

ha=2*S/a - височина към страната a;

hb=2*S/a - височина към страната b;

hc=2*S/a - височина към страната c;

Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър.

  медиана в триъгълник - отсечка с начало един от върховете и край средата на срещулежащата страна. Дължината на всяка медиана се изчислява по формулите:

ma = sqrt((2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4);

mb = sqrt((2*a^2 + 2*c^2 - b^2)/4);

mc = sqrt((2*a^2 + 2*b^2 - c^2)/4);

 Пресечната точка на медианите се нарича медицентър.

 ъглополовяща в триъгълник - отсечка, с началото връх на ъгъл, разделя го на две равни части и пресича лежащата срещу него страна. Всяка точка от ъглополовяща се намира на равни разстояния от двете рамена на ъгъла. Дължината на всяка ъглополовяща се изчислява по формулите:

La = sqrt  (b*c - (b*c*a^2) / ((b+c)^2)) - ъглополовяща към страна a;

Lb = sqrt (a*c - (c*a*b^2) / ((a+c)^2)) - ъглополовяща към страна b;

Lc = sqrt (a*b - (a*b*c^2) / ((a+b)^2)) - ъглополовяща към страна c.

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната окръжност в триъгълника.

  вписана окръжност - единствена окръжност, която се допира едновременно до всички страни на триъгълника. Радиусът й се изчислява по формулата:

r = 2*S/P

1/r = 1/Ra + 1/Rb + 1/Rc

    Пресечната точка на симетралите за всяка от страните е център на описаната окръжност в триъгълника.

 описана окръжност - единствена окръжност, която преминава едновременно през всички върхове на триъгълника. Радиусът й се изчислява по формулата:

R=a*b*c/4*S

външно вписана окръжност - окръжност, които се допира до една от страните на триъгълник и до продълженията на другите две страни. Във всеки триъгълник съществуват три външно вписани окръжности. Центровете им се определят от пресечната точка на ъглополовящите на външните ъгли. Центърът на всяка външно вписана окръжност лежи на ъглополовящата на срещулежащия вътрешен ъгъл на триъгълника. Радиусът на всяка външно вписана окръжност се изчислява по формулите:

Ra = 2S/(-a+b+c) - радиус на външно вписана окръжност към страна а;

Rb = 2S/(a-b+c) - радиус на външно вписана окръжност към страна b;

Rc = 2S/(a+b-c) - радиус на външно вписана окръжност към страна c.

Ra*Rb = p*(p-c)

r*Ra = (p-b)*(p-c)

 Да се реализира проект на тема: намиране елементи на триъгълник.

Потребителят посочва координатите на трите върха и автоматично да се изчисляват изброените елементи на триъгълника.

Чрез примерният проект се посочват координатите на върховете. Чрез радиобутон се извеждат:

Изчислените стойности за отделните елементи на триъгълника.

Поотделно се изчертават:

височини, техните пети и ортоцентър;

медиани, средата на страните и медицентър;

ъглополовящи и вписаната в триъгълника окръжност;

симетрали и описаната около триъгълника окръжност;

намиране елементи на триъгълник на Ойлер - триъгълник с върхове среди на отсечките свързващи връх на референтния триъгълник и ортоцентъра.

Проверете за верността на неравенството R>2*r, където R е радиус на описаната, а r радиус на вписаната в триъгълна окръжност.

Проверете за верността на формулата от теорема на на Ойлер OQ = R*R - 2*R*r, където O и Q са съответно центровете на вписана и описана окръжност.

Разгледайте допълнителен материал за: теорема на Питагор, синусова теорема, косинусова теорема, ориентирано лице, височина, ъглополовяща.