колинеарни точки

Геометрична задача за колинеарни точки разглежда права и инцидентни с нея множество точки. Като по-общо понятие терминът колинеарност (collineary, collinearity) е бил използван за подредени обекти, тоест, подредени в "в една линия".

Две несъвпадащи точки лежат на една права - аксиома от Евклидовата геометрия: с всеки две различни точки е инцидентна точно една права.

Алгоритъмът за проверка дали три точки са колинеарни, дали лежат на една права е основен при проверка дали три и повече прави имат обща точка. Същият алгоритъм се ползва и за проверка дали три точки са върхове на триъгълник или са колинеарни точки.

Точката A(x,y) лежи на правата, определена от точките B(x,y), C(x,y) тогава и само тогава, когато е вярно равенството:

Ay*(Cx-Bx)+By*(Ax-Cx) + Cy*(Bx-Ax) = 0

Доказателството се основава на запис за ориентирано лице. За да бъде лицето на оградената площ равно на нула то детерминантата също има стойност нула:

Ax  Ay  1

Bx  By  1

Cx  Cy  1

By*Ax + Ay*Cx + Cy*Bx - By*Cx - Cy*Ax - Ay*Bx = 0

Ay*Cx - Ay*Bx + By*Ax - By*Cx + Cy*Bx - Cy*Ax = 0

Ay(Cx - Bx) + By*(Ax-Cx) + Cy*(Bx - Ax) = 0

Примери за колинеарни точки:

радикална ос: множество от точки, имащи равни степени спрямо две не концентрични окръжности;

права на Ойлер: еднозначно определена от  медицентъра Х(2), центъра на описаната окръжност X(3), ортоцентъра X(4),  от центъра на 9-точковата окръжност X(5), инцидентни с нея са още ред други забележителни точки е триъгълника като точка на Exeter, точка на Schiffler и др.

Примерна задача за колинеарни точки:

В остроъгълен триъгълник ABC са построени трите височини Ha, Hb, Hc. От петата на едната височина (Hc) са построени перпендикулярни отсечки (HcGa, HcGb) към другите две страни.  Да се докаже, че пресечните точки на отсечките, свързващи петите на височините (HcHa, HcHb) са колинеарни точки с правата g, определена еднозначно от точките GaGb.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: точка, права, права на Newton-Gauss, права на Ойлер, теорема на Менелай, коциклични точки, радикална ос.