точки на Brocard

В задачата точки на Brocard се разглеждат три забележителни точки в триъгълник, като първите две са изогонално спрегнати една спрямо друга.

Разликата в алгоритъма за построяване на първите две точки е в избраната посока за последователно обхождане върховете на референтния триъгълник. И в двата случая ъгъла между отсечките и страните е един и същ.

Свойства на точка на Brocard (за чертежа т.P) - отсечките AP, BP и CP образуват един и същи ъгъл w със страните c, a и b. Този ъгъл се нарича ъгъл на Brocard (Brocard angle) и за него се изпълнява равенството  cotg(w) = cotg(BAC) + cotg(ABC)+ cotg(ACB).

Най-известният начин за построяване е чрез три окръжности (на чертежа в цвят син), всяка от които преминава през два върха, като една от прилежащите страни се явява нейна допирателна. Пресечната точка на трите окръжности (на чертежа в цвят червен) дава една от точките на Brocard.

Алгоритъмът на построителната задача точки на Brocard съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на рферентния триъгълник;

в цикъл последователно се изчисляват координати за начална и крайна точка на симетрала към поредната страна;

в цикъл последователно се изчисляват координати за перпендикуляр към страна на референтния триъгълник във връх на същия триъгълник;

в цикъл последователно се изчисляват координати за пресечна точка на симетралата към страна и построения перпендикуляр в едната ѝ крайна точка -  от свойство на пресичащи се хорди в окръжност диаметър перпендикулярен към хорда я разполовява;

тази пресечна точка е център на окръжност, която има за допирателна страна от референтния триъгълник и е инцидентна с два негови върха;

общата пресечна точка на трите окръжности е една от търсените точки на Brocard. Другата точка е нейната изогонално спрегната точка.

Алгоритъмът за построяване на първите две точки се ползва изцяло при построяване окръжност на Галатли.

Третата точка на Brocard лежи в средата на отсечката между първата и втората точка. Тя е инцидентна с  на оста на Brocard, изотомично спрегната точка с точка на Lemoine, център на окръжност на Gallatly, както и за окръжност на Moses.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: барицентрични координати, окръжност, теорема на Brocard, триъгълник на Brocard, окръжност на Brocard, D-триъгълник, окръжност на Галатли, окръжност на Moses, допирателна.