права

Права, или права линия е основно понятие в геометрията. Свойство (от Евклидовата геометрия): през две несъвпадащи точки от равнината може да се построи само една права. Две прави инцидентни с една и съща равнина могат: да съвпадат, да се пресичат, да са успоредни. В пространството две не успоредни прави могат и да се кръстосват - без обща точка в пространството, но при проекция в равнина имат една обща точка.

В разглежданите задачи често се използва каноничното уравнение на права - уравнение на права през две точки с координати (X1,Y1), (X2,Y2). Коефициентите A, B, C от общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 имат стойности:

A = Y1 - Y2

B = X2 - X1

C = X1 * Y2 - X2 * Y1

ъглов коефициент k = (Y2-Y1)/(X2-X1) = tan(ϕ), където ϕ е ъгъла на наклона на правата към абсцисната ос.

Взаимно положение на две прави в равнината:

Две прави се пресичат тогава и само тогава, когато ъгловите им коефициенти са различни k1<>k2.

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато ъгловите им коефициенти са равни k1 = k2.

Две прави са различни и успоредни тогава и само тогава, когато ъгловите им коефициенти са равни k1 = k2, но b1<>b2.

Две прави са перпендикулярни, тогава и само тогава, когато произведението на техните ъглови коефициенти k1*k2 = -1.

Нека две прави са зададени с общите си уравнения:

g1:  A1x + B1y + C1 = 0

g2:  A2x + B2y + C2 = 0

ако ъгловите им коефициенти са различни k1<>k2, то тяхната пресечна точка (Xt, Yt) се изчислява от уравненията:

 Xt = (-C1 * B2 + C2 * B1) / (A1 * B2 - A2 * B1)

 Yt = (-A1 * C2 + A2 * C1) / (A1 * B2 - A2 * B1)

наклон на права - ъгълът α, който правата сключва с положителната посока на абсцисната ос

Връзка между ъглов коефициент на права k и ъгъл на права k = tan(α).

Ъгъл α = аtn(( -Oy + Qy) / (Ox - Qx)), където O(x,y) и Q(x,y) са точки инцидентни с правата.

разстояние d между точка T(x,y) и права g: Ax + Bx+C = 0 е отсечка с начало т.T, която е перпендикулярна към правата:

d = (Axt + Bxt + C)/ sqr(A^2 + B^2), където xt, yt са координатите на точка T.

Типова задача: построяване на равнобедрен триъгълник с въведени ъгъл Yg_A при основата и координати за върхове на основата A(x,y) и B(x,y);

изчислява се наклона на основата Yg_N - алгоритъм за изчисляване ъгъл на права по две точки:

Yg_N = аtn(( -Ay + By) / (Ax - Bx))

изчислява се дължината на основата - чрез теорема на Питагор

c = sqr((Ax-Bx)^2 + (Ay-By)^)

изчислява се дължина на бедрото (a = b)  - чрез косинусова теорема

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(A); a = c / sqr(2 -2*cos(A))

като полярни координати се извеждат координатите за върха на равнобедрения триъгълник

Cx = Ax + a * Cos(Yg_A+Yg_n)

Cy = Ay + a * Sin(Yg_A+Yg_n)

Обратната задача е изчисляване пресечните точки на права с окръжност.

Алгоритъм: Изчислява се ъгъла на наклон на правата Yg_n. Използва се свойството че диаметър перпендикулярен на хорда от същата окръжност я разполовява. Изчислява се h дължината на разстоянието (перпендикулярът) от центъра на окръжността до секущата - разстояние на точка до права. Чрез теорема на Питагор се изчислява m половината от дължината на хордата в правоъгълния триъгълник с хипотенуза радиуса на окръжността и катет вече изчисленото разстояние. С начало петата на перпендикуляра (Xp, Yp) към правата се изчисляват координатите на едната пресечна точка (Xg, Yg)на окръжността и правата:  Xg = Xp + m*cos(Yg_n); Yg = Yp + m*sin(Yg_n). Втората пресечна точка има координати Xe = Xp + 2*m*cos(Yg_n+π), Ye = Yp + 2*m*sin(Yg_n+π).

Характерни отсечки:

апотема (правилен многоъгълник) - перпендикуляр от центъра на описаната окръжност към (средата) на страна;

апотема (пирамида) - височина на околна стена, свързваща връх на пирамида с основния ръб;

средна отсечка (в триъгълник, трапец) - успоредна на основата и с дължина 1/2 от нея;

височина в триъгълник - перпендикуляр, най-късото разстояние между връх в триъгълника и срещулежаща страна;  проекция на точка върху права. Отсечката свързваща петите на две височини се нарича педална. Пресечната точка на височините в триъгълник е неговия ортоцентър.

медиана - свързва връх на триъгълника със средата на срещулежаща страна; разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника; пресечната точка на медианите (медицентър) разделя всяка от медианите в отношение 2:1 и определя центъра на тежестта в реферфентния триъгълник.

симетрала - преминава през средата на дадена отсечка и е перпендикулярна към нея; пресечната точка на симетралите в триъгълник е център на описаната окръжност около триъгълника.

ъглополовяща / бисектриса - разделя ъгъл на две равни части, всяка точка от нея отстои на равни разстояния от рамената на ъгъла; пресечната точка на ъглополовящите в триъгълник е център на вписаната окръжност;

трисектриса - разделя ъгъл на три равни части; 

чевиана - отсечка, свързваща връх на триъгълника с точка от срещулежащата страна или нейно продължение. Трите чевиани от  даден триъгълник имат една обща пресечна точка. Всяка чевиана е с по-малка дължина от двойката страни със същия общ връх. Чевиани са: височина, медиана, ъглополовяща, симедиана.

симедиана - отсечка, свързваща връх на триъгълника с точка симетрична на петата на медианата спрямо петата на ъглополовящата в триъгълник; отражение на медианата спрямо ъглополовящата от същия връх на триъгълника.

недиана - отсечка в триъгълник без ограниченията да започва във връх на триъгълник или да завършва в страна на триъгълник. Такива са височини в тъпоъгълен триъгълник.

допирателна от точка - перпендикуляр от външна за окръжност точка към радиус от същата окръжност;

външна допирателна - обща допирателна за две окръжности, която не пресича отсечката свързваща центъра на двете окръжности;

вътрешна допирателна - обща допирателна за две непресичащи се окръжности;

разделител (clevance) - отсечка в триъгълник, разделяща го на две части с еднакъв периметър;

Isoscelizer - права, преминаваща през рамена на вътрешен ъгъл в триъгълник и отсичаща от раменете на ъгъла равни отсечки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използва изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: ъглополовяща, права на Ойлер, права на Симсън, теорема на Питагор, допирателна.