доказателство на Perigal

В задачата доказателство на Perigal се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC и построени външно квадрати (AFGC, BDEC, AIJB) към всяка от страните - вятърна мелница. През т.Н, центъра на квадрата към по-големия катет, са построени успоредна и перпендикулярна отсечки  спрямо хипотенузата. Отсечките разделят квадрата на 4 еднакви четириъгълника. В квадрата към хипотенузата се построява квадрат с дължина на страната по-малкия катет, с ъгъл на наклон на съответната страна, а всеки негов връх се свързва със средата на срещулежащата страна. Свързващите отсечки са успоредни/перпендикулярни на по-големия катет. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез дисекция и пренареждане. Описанието е по-кратко в частния случай за равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Построението ползва свойства на централната симетрия: конгруентни координати за център на вписана и  описана окръжност; пресечна точка на диагонали, симетрали и ъглополовящи. Отсечките NL, KM имат само илюстративен принос и не са част от доказателството.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Perigal са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки. Описаната последователност е за случая AC < BC. Стъпките на алгоритъма на построителната задача доказателство на Perigal са:

по посочени 3 не колинеарни точки са построяван референтния правоъгълен триъгълник ABC;

в цикъл последователно се построяват квадрати външно за страните на триъгълника - конструкция вятърна мелница;

последователно се изчисляват координати за център на двата квадрата - точки O, Q;

през т.Q се построява се отсечка 1-2 успоредна на хипотенузата;

през т.Q се построява се отсечка 3-4 перпендикулярна на хипотенузата;

на този етап има 2 възможности с приблизително равна степен на сложност:

А) с център т.О се построява квадрат с върхове 5-6-7-8 с дължина на страната AC - разстоянието от т.О до страните на квадрата е 0.5*AC; всяка от страните на построения квадрат се продължава до пресичане на страните на квадрата AIJB в съответно точки K,L, M, N;

B) последователно се изчисляват средите на страните в квадрат AIJB - съответно точки K, L, M, N; последователно се построяват прави през изчислените координати успоредни/перпендикулярни на избран катет - пресечните точки на построените прави се върхове на вписания квадрат с върхове 5-6-7-8.

Подобно на задачата доказателство на Perigal  използването на отсечки успоредни/перпеникулярни на хипотенузата се прилага и в задачата доказателство на Nelsen.

вариант на Табит и Perigal

По задачата вариант на Табит и Perigal са работили и двамата. Конструкцията изисква разностранен правоъгълен триъгълник. Построени са квадрати с дължина на страна като рeферентния триъгълник. Приложено е нагледно доказателство използващо срязване и разместване.

Съществуват няколко подхода за извеждане на търсеното уравнение от питагоровата теорема включително и разгледания в доказателство на Гарфийлд.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Nelsen, доказателство на Bether, доказателство на Гарфийлд, доказателство на Табит, доказателство на Yanney.