точка

Понятието точка в геометрията представя 0-мерен обект без размери като дължина ъгъл, площ. Точката няма начало и край, но с нея се означават начало и край.

На чертежа с черен цвят са означени върховете и страните на триъгълник, с виолетов пресечните точки на симетралите и страните на триъгълник, както и точката за център на описаната окръжност, със зелен цвят са представени средите на отсечката от симетрала, заключена между две страни от референтния триъгълник. Тези точки са и върхове на производния триъгълник полу симетрали.

Често срещани задачи в изчислителната геометрия са свързани с изчисляване на:

дистанция  - разстояние между две точки O(x,y) и Q(x,y) алгоритъмът използва изчисляване d дължина на хипотенуза в правоъгълен триъгълник с катети разстояние по абсциса и ордината на двете точки d=sqr((Qx-Ox)^2 + (Qy-Oy)^2);

разстояние от точка до права - дължината на перпендикуляра от точката T(x,y) към правата (Ax+By+C); ориентирано разстояние d = abs(A*Tx + B*Ty + C)/√(A² + B²)

разстояние между точка и окръжност - построява се отсечка свързваща разглежданата точка T(x,y) и центъра на окръжността O(x,y), изчислява се разликата между дължината на построената отсечка и радиуса на окръжността. Алгоритъмът е идентичен с разстояние между две точки.

средна точка, среда на отсечка - средно аритметично на координатите по абсциса и ордината на двете точки; приложения получева (half cheva), полувисочина (half-altitude),  медиален триъгълник, рефлективен триъгълник (Reflection Triangle) и др.

точка на равните паралели (Equal parallelians point) - точка в триъгълник от равнината, през която могат да бъдат построени отсечки с равни дължини, всяка от които е успоредна на страна от триъгълника.

пресечна точка на отсечки / прави като: ортоцентър, медицентър, център на вписана окръжност, център на описана окръжност, пресечна точка на хорди - най-често чрез решаване на система уравнения представящи двете прави. Особен интерес представляват точки, получавани като пресечна точка на 3 и повече прави - като точка на Grinberg, isoscelizer (равнобедрен) и др.

връх на триъгълник -  алгоритъм пресечна точка на отсечки, чрез решаване на система уравнения представящи двете страни;

пета на ъглополовяща в триъгълник - алгоритъмът ползва теорема на ъглополовящата; ако се ползват уравненията от аналитичната геометрия трябва да се отчете знакът в сумата, за кой ъгъл е ъглополовящата;

пета на височина в триъгълник - пресечната точка на перпендикулярна права от точка към права;

пета на медиана в триъгълник -  средна точка на срещулежащата страна;

допирна точка на права с окръжност - в степен на точка, допирен триъгълник (contact triangle) се  използва  свойството на радиуса в точката на допиране;

допирна точка M между две окръжности R1(Ox,Oy) и R2(Qx,Qy) - сравняване на междуцентровото разстояние със сумата от двата радиуса OQ = R1+R2 с последващо изчисляване ъгъла на наклон на междуцентровото разстояние Yg_n. Полярните координати на допирната точка са Mx = Ox + R1*cos(Yg_n); My =Oy + R1*sin(Yg_n)

пресечни точки между две окръжности - междуцентровото разстояние е по-малко от сумата от двата радиуса, образуват се два еднакви триъгълника с върхове пресечните точки на двете окръжности и техните центрове, а общата хорда е винаги перпендикулярна на отсечката свързваща центровете им. Теоремата на Johnson разглежда случай с обща пресечна точка между три окръжности. Частен случай са пресечни точки между две перпендикулярни окръжности - в точката на пресичане двата радиуса са взаимно перпендикулярни.

принадлежност на точка към права - чрез ориентирано лице на триъгълник с върхове разглежданата точка и две точки от правата; изчисляване разстояние от точка до права чрез уравнение на правата и заместване на неизвестните с координатите на точката;

принадлежност на точка към отсечка: лежи на правата, определена от отсечката - преди началото, след края на отсечката; принадлежи на отсечката;

принадлежност на точка към окръжност - сравняване между дължината на радиуса в окръжността от една страна и разстоянието между центъра на окръжността и разглежданата точка;

принадлежност на точка към триъгълник - сравняване на лицето на референтния триъгълник и лицата на 3 триъгълника с върхове разглежданата точка и два от върховете на триъгълника;

принадлежност на точка към n-ъгълник - многоъгълникът се разбива на n-2 броя триъгълници със страни диагоналите от един връх на многоъгълника и една негова страна; в цикъл n-2 с повтаря алгоритъма принадлежност на точка към триъгълник;

проверка за колинеарност на точки - точките са инцидентни с дадена права. Пример: пресечните точки получени от продълженията на отсечката свързваща пети на две височини с продължението на срещулежащата страна в референтния триъгълник са колинеарни точки и през тях може да се построи ос orthic;

проверка за конкурентност на прави/окръжности, проверка за съществуване на обща пресечна точка между 3 и повече прави / окръжности. Изчисляват се координати за пресечна точка на всяка комбинация от 2 обекта. С натрупване се изчислява разстоянието (по абсолютна стойност) за всяка комбинация от изчислените пресечни точки. Полученият резултат трябва да се сравнява със стойността на допустимата изчислителна грешка.

точка на отражение пример: двете точки отражения на пета на височина към страна от триъгълник лежат на една и съща права с петите на височините към другите две страни на референтния триъгълник;

радикален център (radical center) е пресечна точка на радикалните оси за три окръжности. Ако радикалният център не лежи в никоя от окръжностите, то той е център на радикалната окръжност, която е едновременно ортогонална с разглежданите три окръжности.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: пресечна точка на отсечки, степен на точка, окръжност, права.