доказателство с ортодиагонален четириъгълник

В задачата доказателство с ортодиагонален четириъгълник се разглеждат два еднакви правоъгълни триъгълника (ABC ≅ DEF) чиито хипотенузи са диагонали в ортодиагонален четириъгълник ADBE. Описаният правоъгълник IJKL е квадрат с дължина на страна катета BC. Страните на описания квадрат и вписания четириъгълник описват 4 (не непременно подобни) правоъгълни триъгълника AEL, ADI, BDJ, BEK. Извежда се основното уравнение на питагорова теорема чрез площи.

Алгоритъмът на построителната задача доказателство с ортодиагонален четириъгълник съдържа следните стъпки:

по посочени 3 точки се построява референтния разностранен правоъгълен триъгълник ABC

построява се втори правоъгълен триъгълник DEF еднакъв с референтния, така че съответните им страни са взаимно перпендикулярни при равенство на отсечките AI = IF;

построяват се 4 правоъгълни триъгълника, чиито катети образуват описан квадрат IJKL.

От използвания алгоритъм следва равенство на отсечките:

CL = BK - от правоъгълник CBKL;

IF = EL - от правоъгълник IFEL;

AC = DF, BC = EF, AB = DE - от еднаквите триъгълници ABC ≅ DEF;

Лицето на квадрата LIJK се представя като сума от лицата на: 4 правоъгълни триъгълника AEL, ADI, BDJ, BEK и лице на ортодиагоналния четириъгълник AEBD като произведение на диагоналите му:

Slijk = Sael + Sadi + Sbdj + Sbek + Saebd = BC²;

BC² = (EL*AL/2) + (AI*DI/2) + (BJ*DJ/2) + (BK*EK/2) + (DE*AB/2);

AL = AC + CL;

BC² = EL*(AC + CL)/2 + (AI*DI/2) + (BJ*DJ/2) + (BK*EK/2) + (DE*AB/2);

AI = IL - AC - CL = BC - AC - CL;

от равенствата AC = DF, IF = EL следва DI = DF + IF = AC + EL;

BC² = EL*(AC + CL)/2 + (BC - AC - CL)*(AC + EL)/2 + (BJ*DJ/2) + (BK*EK/2) + (DE*AB/2);

BJ = JK - CL = BC - CL;

DJ = IJ - DF - IF = BC - AC - EL;

BC² = EL*(AC + CL)/2 + (BC - AC - CL)*(AC + EL)/2 + (BC - CL)*(BC - AC - EL)/2  + (BK*EK/2) + (DE*AB/2);

BK = CL, EK = KL - EL = BC - EL;

BC² = EL*(AC + CL)/2 + (BC - AC - CL)*(AC + EL)/2 + (BC - CL)*(BC - AC - EL)/2  + CL*(BC - EL)/2 + (DE*AB/2);

DE = AB;

BC² = EL*(AC + CL)/2 + (BC - AC - CL)*(AC + EL)/2 + (BC - CL)*(BC - AC - EL)/2  + CL*(BC - EL)/2 + AB²/2;

2*BC² = (AC*EL + CL*EL) + (AC*BC + BC*EL - AC*AC - AC*EL - AC*CL - CL*EL) + (BC*BC - AC*BC - BC*EL - BC*CL + AC*CL + CL*EL)  + (BC*CL - CL*EL) + AB²;

2*BC² = BC² - AC² + AB²;

AC² + BC² = AB² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с успоредник, доказателство с равнобедрен трапец, доказателство с правоъгълен трапец, доказателство на Dobbs, доказателство на Elliott.