японска теорема

В задачата японска теорема се разглежда вписан четириъгълник и диагоналите разделящи го на триъгълници. Извежда се нагледно доказателство за вписан четириъгълник ABCD центровете на вписаните окръжности в триъгълниците ABC, ADC, BAD, BCD образуват правоъгълник. 

Друго твърдение на японската теорема: съществува равенство между сумите от радиусите на вписаните окръжности в триъгълниците ABC + ADC = ABD + BCD.

Алгоритъмът на построителната задача японска теорема съдържа следните стъпки:

посочват се координати на 4 точки, като нито една комбинация от кои да е три не са колинеарни точки;

при необходимост се извършва корекция на координатите на последната въведена точка - по алгоритъм представен във вписан четириъгълник; 

построяват се двата диагонала AC, BD в референтния четириъгълник;

по изчислени координати за център и радиус се построява описана окръжност;

в цикъл, последователно за всеки от диагоналите разделящ референтния четириъгълник на два триъгълника се построява вписана окръжност - на чертежа център т.K за ABD, т.L за ABC, т.M за BCD, т.N за ADC  като координатите за център и дължина на радиус се изчисляват по алгоритъм представен в намиране елементи на триъгълник; 

построява се търсения правоъгълник - последователно точките (център на окръжност) се свързват с отсечки.

Проверката за равенството между сумите от дължини на радиуси е относително лесна задача - дължините им  вече са изчислени.

Чрез съпоставяне дължини на отсечки между центровете и използване основната формула от теорема на Питагор се извършва проверка на основното твърдение в японската теорема. Нагледно доказателство за съществуване на правоъгълник е чрез прилагане теорема на Талес. Построяват се допълнителни 4 описани окръжности всяка с център връх на диагонал (K, L, M, N) от конструирания правоъгълник и инцидентна с три от върховете му.

Доказателството на японската теорема е основано на теорема на Карно. Като допълнителен материал разгледайте теорема на Птоломей. 

Като използвате методи и алгоритми от изчислителна геометрия се опитайте да докажете, че най-голяма стойност от сумата на радиусите на вписаните окръжности е когато вписаният четириъгълник е квадрат.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Талес - описана окръжност, теорема на Карно, теорема на Птоломей, четириъгълник.