теорема на Вериер

Теорема на Вериер: допирните точки на полувписаната окръжност до страните лежат на права, преминаваща през центъра на вписаната в триъгълника окръжност.

С понятието полувписана окръжност в триъгълник се разбира окръжност, която се допира до две от страните на триъгълника и заключената между тях дъга на описаната около триъгълника окръжност.

Един от възможните алгоритми за решаване на построителната задача е свързан със свойството на ъглополовящата - всяка точка от нея се намира на равни разстояния от двете рамена на ъгъла. Стъпките на алгоритъма са:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, C и се построява референтния триъгълник;

в цикъл последователно се построява поредната ъглополовяща;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка - център на вписаната окръжност (на чертежа с цвят зелен и център т.Q);

построява се и описаната окръжност около референтния триъгълник - на чертежа с цвят син и център т.O;

отразявайки определението за теорема на Вериер с начална точка центъра на вписаната окръжност т.Q се построяват перпендикулярни отсечки QD, QE, на чертежа с цвят с цвят зелен, към страните на триъгълника  AC, BC - по алгоритъм перепендикуляр към права в дадена точка;

с начало тези пресечни точки ( т.D и т.E ) се построяват перпендикулярни прави към страните на триъгълника и преминаващи през тези точки - по алгоритъм перепендикуляр от дадена точка към права ;

изчисляват се координати на тяхната пресечна точка т.F - тя е център на полувписаната окръжност, а отсечките DF, EF неин радиус;

по изчислените координати за център и дължина на радиус се построява търсената полувписана окръжност.

В произволен триъгълник могат да се построят три различни полувписани окръжности (окръжности на Вериер). Като използвате методи и алгоритми от изчислителна геометрия се опитайте да докажете, че отсечките свързващи връх на триъгълника и съответната допирна точка между полувписаната окръжност и описаната окръжност се пресичат в една точка (точка на Вериер).

Общата допирна точка (т.G)  между двойката допиращи се окръжности полувписаната и описана окръжност, в общия случай не е инцидентна със съответната ъглополовяща.

Следствие от теорема на Вериер: центърът на вписаната в триъгълника окръжност разделя отсечката, свързваща допирните точки на полувписаната окръжност до страните на триъгълника, на две равни отсечки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжност, теорема на Чева, теорема на Лестер, теорема на Тебо, аполониеви задачи, окръжност mixtilinear, външно полувписана окръжност.