радиус

Радиус (лат. Radius - лъч, спица) в геометрията,  е разстоянието от центъра на окръжност или сфера до точка от нейната периферия. Следва списък с често използвани формули:

Използвани означения:

 R - радиус на описана окръжност;

 r - радиус на вписана окръжност;

Ra, Rb, Rc - радиус на външно вписани окръжности;

a,b,c - страни на триъгълник;

A, B, C - ъгли в триъгълник;

S, p - лице и полупериметър на триъгълник.

радиус на вписана окръжност и полупериметър: S = r*p;

радиус на вписана окръжност, полупериметър и страни на триъгълник: r² = (p-a)*(p-b)*(p-c)/p;

радиус на описана окръжност, лице и страни на триъгълник: S = a*b*c/(4*R);

радиус на описана окръжност и ъгли в триъгълник: S = 2*sin(A)*sin(B)*sin(C)*R²

радиуси на вписана, описана окръжност и ъгли в триъгълник:  r + R = R*(cos(A)+cos(B)+cos(C)) 

радиуси на вписани окръжности: Ra + Rb + Rc - r = a*b*c / S = 4*R

суми на радиуси: Ra + Rb + Rc = r + 4*R

радиуси на вписани окръжности и лице  на триъгълник: r*Ra*Rb*Rc = S² 

радиуси на вписани окръжности лице и периметър: Ra*Rb*Rc = p*S

радиуси на външно вписани окръжности и периметър: p² = Ra*Rb + Rb*Rc + Rc*Ra

радиуси на външно вписана окръжност по лице и страна: S = Ra*(p - a) = Rb*(p - b) = Rc*(p - c)

радиуси и дължини на страни: r*R = a*b*c / (4*p)

Теорема на Ойлер (в геометрията) - междуцентрово разстояние d на вписана и описана окръжност и техните радиуси d² = R² - 2*R*r.

Теорема на Карно (Carnot's theorem): сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника е равна на сумата на радиусите на описаната и вписаната окръжност в същия триъгълник.

В частния случай правоъгълен триъгълник:

радиус на вписана окръжност:  r = (a+b-c)/2;

радиус на описана окръжност: R = c/2;

радиус на външно вписана окръжност (към хипотенузата):  Rc = (a+b+c)/2;

Представеният непълен списък илюстрира идеята, че съществуват множество формули за връзка между дължини на страни, ъгли, периметър, лице на триъгълник и вписаните в него окръжности. Директното използване на такива формули без тяхното доказателство не се приема за вярно решение на конкурсна задача.

Доказателство на част от формулите може да бъде извършено чрез синусова теорема, формула на Херон и др. Пример за формулата S = r*p - построяват се трите ъглополовящи, и 3 перпендикуляра от пресечната точка към всяка от страните. Получават се три вписани триъгълника със страни: част от две ъглополовящи и страна от референтния триъгълник. Височината във всеки от вписаните триъгълници е и радиус на вписаната окръжност.

Компилираното приложение дава възможност за извършване на нагледно доказателство за валидността на изброените формули. Посочват се три точки за връх на триъгълник, изчертава се триъгълника и свързаните с него окръжности. Извеждат се получените резултати за предварително избраната формула.

При реализиране на проекта е желателно при избор на конкретна формула в отделно текстово поле да се извежда доказателство на използваната формула, както и стойностите на отделните променливи в нея.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Прочетете допълнителен материал за: окръжност, описана окръжност, вписана окръжност, ъгли в окръжност, степен на точка, външно вписана окръжност, построителни задачи с окръжност, взаимно разположение на окръжности.