доказателство с дисекция

В групата задачи, обединени под името доказателство с дисекция, най-често се ползва правоъгълен триъгълник и построени квадрати външно към всяка от страните му. Допълнително се построяват отсечки успоредни/перпендикулярни към страните на триъгълника или негов елемент - височина/ъглополовяща от върха на правия ъгъл. Построените отсечки делят квадратите на отделни части, всяка от които има еднакво копие в квадрат към катет и в квадрата към хипотенузата.

В общия случай важат правилата описани от Евклид: събиране на равенства - еднакви площи (в квадратите към катет и хипотенуза), изваждане на равенства - при тесалация с карти на Wang, транзитивно и рефлексивно свойство (при доказване еднаквост на група  - най-често триъгълници).

Извеждането на основното уравнение от питагоровата теорема се осъществява чрез равенство между сумата от площите на отделните фигури в квадратите към двата катета от една страна и сумата от площите на фигурите в квадрата към хипотенузата. В заключителния ред равенството между лицата на квадратите се представя като равенство между квадрата на страните.

доказателство на Bether

В задачата доказателство на Bether се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC с построени външно квадрати, всеки с дължина страна на реферетния триъгълник. Към страните на квадрата към хипотенузата ABIH са построени 4 правоъгълни триъгълника еднакви с референтния: вътрешно ABN, HIO; външно AHP. BIQ. Построени са отсечки: DF - инцидентна с диагоналите на квадрати AFGC, BDEC; PQ - инцидентна с върха на правия ъгъл в допълнително построените правоъгълни триъгълници.

Допълнително са построени перпендикуляри: GM ⊥FD, AL ⊥ FD, EK ⊥ FD, BJ ⊥ FD.

Tака получените пресечни точки, инцидентни с отсечки PQ, DF, са върхове на следните двойки еднакви триъгълници:

FMG ≅NSB;

FAL ≅ PHR;

GMC ≅ BQS;

ALC ≅ HRO;

CKE ≅ PRA;

DKE ≅ ARN;

BDJ ≅ ISQ;

BJC ≅ ISO;

AHP ≅ BIQ ≅ ABC ≅ ABN ≅ HIO;

Sahp = Spra + Sphr = Sabn = Scke + Sfal;

Sbiq = Shio = Sbqs + Sisq = Sgmc + Sbdj;

Safgc = AC² = Sfmg + Sfal + Sgmc + Salc;

Sbdec = BC² = Scke + Sdke + Sbdj + Sbjc;

Sabih = AB² = (Sarn + Shro) + Sabn + (Snsb + Siso) + Shio;

AB² = (Sdke + Salc) + (Scke + Sfal) + (Sfmg+Sbjc) + (Sgmc + Sbdj);

AB² = (Sfmg + Sfal + Sgmc + Salc) + (Scke + Sdke + Sbdj + Sbjc);

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство

Построяване ъглополовяща на правия ъгъл ACB и нейното продължение до центъра на квадрата AHIB прави видима връзката между доказателство на Хюйгенс и това на Bether.

вариант на Евклид с дисекция

В задачата вариант на Евклид с дисекция се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC с построени външно квадрати, всеки с дължина страна на референтния триъгълник. Построена е височина към хипотенузата и нейното продължение на страна на квадрата - отсечка CK. Името на задачата е асоциативно свързано с подобната конфигурация разгледана във второто доказателство на Евклид и с това приключва подобието.

Разрязването е осъществено с отсечки успоредни/перпендикулярни на страните от референтня триъгълник. В квадрата към всеки катет има различни по вид и площ фигури, като всяка от тях има свое съответствие в квадрата към хипотенузата. Еднаквите фигури са маркирани с равни числа.

Safgc = AC² = S1 + S6 + S7;

Sbdec = BC² = S2 + S3 + S4 + S5;

Saijb = AB² = (S1 + S6 + S7) + (S2 + S3 + S4 + S5);

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Евклид, доказателство с танграм, доказателство с питагорови тройки, доказателство на Хюйгенс, доказателство на Shutrick, доказателство на Nelsen, доказателство на Foster.