точка на Lemoine

Точка на Lemoine (Lemoine point или Grebe point) е пресечната точка на трите симедиани в произволен триъгълник.

Симедиана в триъгълник е вид чевиана и свързва връх на триъгълника със срещулежащата му страна. Симедианата към дадена страна е симетрична на медиана спрямо ъглополовяща към същата страна.

Някои от свойствата на симедианите и точката на Lemoine са:

отсечките, на които петата на симедианата дели срещулежащата страна са пропорционални на квадратите на прилежащите страни;

разстоянията от точката на Lemoine до страните на  триъгълника са пропорционални на дължината на съответните страни;

сумата на квадратите на разстоянията от точка в равнината до страните на триъгълника е минимална, ако тази точка е точка на Lemoine;

точка на Lemoine се явява център на вписаната окръжност на своя педален триъгълник.

Под номер X6 в списъка на Kimberling са описани връзки за точка на Lemoine с други забележителни точки в триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Lemoine съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C за върхове на рферентния триъгълник;

в цикъл последователно се построява поредната ъглополовяща - на чертежа с цвят  син, петите са т.La,  т.Lb, т.Lc;

в цикъл последователно се построява поредната медианa - на чертежа с цвят червен, петите са т.Ma,  т.Mb, т.Mc;

в цикъл последователно се построява поредната симедианa - на чертежа с цвят лилав, петите са т.Sa,  т.Sb, т.Sc;

изчисляват се координати за търсената точка на Lemoine - пресечна точка на симедианите, на чертежа с цвят лилав т.L.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: симедиана, медиана, теорема на Чева, точка на Нагел, точки на Brocard, ъглополовяща.