теорема на Petr-Douglas-Neumann

Чрез теорема на Petr-Douglas-Neumann (Petr-Douglas-Neumann Theorem, PDN theorem) се доказва твърдението, че от върховете на произволен n-ъгълник в равнината може да се получи правилен n-ъгълник като началният брой страни се запазва. 

Авторите са няколко, работили са независимо и в различно време. Теоремата може да се разглежда като обобщение на теоремата на Наполеон (произволни триъгълници) и теоремата на ван Обел (произволни четириъгълници).

Алгоритъмът на построителната задача теорема на Petr-Douglas-Neumann изисква създаване на равнобедрени триъгълници с основа върхове на референтния n-ъгълник. Ъглите при върха имат стойност 2*k*π / n, този процес се повтори с n-ъгъла, образувани от свободните върхове на триъгълниците, но с различна стойност на k и така нататък, докато се използват всички стойности 1 ≤ k ≤ n - 2 (в произволен ред).

Реализираният проект демонстрира нагледно доказателство за теорема на Petr-Douglas-Neumann само с 4-ъгълници. На чертежът е представен не изпъкнал неправилен четириъгълник.

Посочват се координати за 4 не колинеарни точки за върхове на несамопресичащ се четириъгълник.

В цикъл се построява последователно съответния равнобедрен правоъгълен триъгълник с основа страна на референтния четириъгълник (на чертежа в зелено). Ъгълът при върха е 90° като следствие от формулата за брой върхове.

Следващата стъпка използва възможността за ъгъл при върха равен на π като намира средната точка на отсечката свързваща върховете на два съседни триъгълника (на чертежа в синьо). Точките са и върхове на квадрат (KLMN - на чертежа в цвят лилав).

Нагледното доказателство са построените вписана и описана окръжност около квадрата. На чертежа голямата двуцветна точка е пълното съвпадение на двата центъра (т.O, т.Q) допирните точки (в цвят червен) на страните до вписаната окръжност, както и демонстрация на другата група коциклични точки (K, L, M, N в цвят син) с описаната окръжност.

Могат да се разглеждат като частни случаи за теоремата на Petr-Douglas-Neumann: теорема на Наполеон и теоремата на Ван Обел.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: теорема на Тебо, триъгълник на Gallatly-Kiepert, теорема на Питагор, теорема на Наполеон, теорема на Ван Обел.