доказателство на Adams

В задачата доказателство на Adams се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник,ъглополовяща на правия ъгъл и построени външно квадрати към всяка от страните - тип вятърна мелница. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез дисекция и пренареждане.

Вписаният в референтния триъгълник четириъгълник CNZJ е квадрат - доказва се с двата еднакви равнобедрени правоъгълни триъгълника ZNC ≅ ZJC. Този квадрат отсича два подобни правоъгълни триъгълника AZN ≈ BZJ ≈ ABC. Техните страни определят успоредни или перпендикулярни линии за дисекция на външните квадрати.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Adams са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

построява се референтния правоъгълен триъгълник ABC: AC⊥BC;

последователно се построяват квадрати външно за всяка отс страните на референтия триъгълник: BDEC; AFGC, AHIB;

построява се ъглополовяща на правия ъгъл CZ: ∢ACZ = ∢BCZ = 45⁰;

последователно се построяват перпендикуляри от пета на ъглополовящата към катетите: ZJ ⊥ BC; ZN ⊥ AC;

правоъгълен триъгълник ZNC е равнобедрен с остър ъгъл 45⁰;

правоъгълен триъгълник ZJC е равнобедрен с остър ъгъл 45⁰;

триъгълниците ZNC ≅ ZJC са еднакви по обща страна ZC и прилежащите й ъгли

следователно CNZJ е квадрат, триъгълниците ABC ≈ ZNC ≈ ZJB;

построява се успоредник ZAON;

построява се вписан квадрат NOPQ с начален връх пета на перпендикуляра ZN към катета AC;

квадратът NOPQ отсича от описания квадрат AFGH 4 еднакви триъгълника: AZN ≅ NOA ≅ OPF ≅ PQG  ≅ QNC;

Safgc = 4*Sazn + Sopqn = AC² - доказателство на Bhaskara;

стъпките се повтарят за дясната част на фигурата;

построява се успоредник ZBKJ;

построяване на вписан квадрат JKLM с начален връх пета на перпендикуляра ZJ към катета BC;

получават се еднаквите триъгълници ZBJ ≅ JBK ≅ KDL ≅ LEM ≅ MCJ;

Sbdec = 4*Sbzj + Sjklm = BC² - доказателство на Bhaskara;

построява се квадрат AZRS със страна AZ - еднакъв с квадрат NOPQ;

построява се квадрат IURT със страна BZ - еднакъв с квадрат JKLM;

построява се TZ || BC;

построява се HR || AC;

получават се еднаквите триъгълници:

ZBJ ≅ HSX ≅ RUY ≅ TRW ≅ ZBW;

AZN ≅ HUY ≅ RSX ≅ ZRV ≅ TBW;

Лицата на квадратите към двата катета се представят като сума от лицата на вписан квадрат и 4 еднакви правоъгълни триъгълника:

Sbdec = BC² = Sjklm +  4*Szbj;

Safgc = AC² = Snopq +  4*Sazn;

Sahib = 4*Sazn + Sazrs + 4*Sbzj + Siurt;

Sahib = Safgc + Sbdec;

AB² = AC² + BC²  - търсеното доказателство.

Задачата е позната и под името доказателство с ъглополовяща.

Елементите в жълт цвят не са част от оригиналното доказателство на Adams. Те са илюстрация на допълнителни свойства - ъглополовящата CZ на правия ъгъл ACB е перпендикулярна на диагоналите FC, CD в квадратите към двата катета. Колинеарни точки са: т.С върха на правия ъгъл, петата на ъглополовящата т.Z и  центъра на квадрата на хипотенузата - не означената точка в цвят жълт. Образувания прав ъгъл между ъглополовящата и двата диагонала FC, DC е част от доказателствата на Леонардо да Винчи и Хюйгенс.

Подобна дисекция на квадрат към хипотенузата (вписани квадрати с общ връх) е разгледана и в доказателство на Multauli.

Използвания алгоритъм в доказателство на Perigal също ползва отсечки успоредни на катетите

В задачата доказателство на Zhong се конструират 4 квадрата и два правоъгълника/4 правоъгълни триъгълника.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Евклид, доказателство на Bhaskara, доказателство на Perigal, доказателство на Zhong.