окръжности на Johnson-Yff

Задачата за окръжности на Johnson-Yff е свързана с окръжности на Yff (три вписани окръжности с еднакъв радиус се пресичат в една точка) и отразява основния извод в теоремата на Johnson - окръжностите преминаващи през два от върховете на триъгълника и неговия ортоценър имат равни радиуси. Трите пресечни точки, между всяка двойка окръжности на Yff, определят еднозначно окръжност на Johnson-Yff.

Както и при окръжности на Yff съществуват две отделни окръжности на Johnson-Yff. Формулите за изчисляване размера на двата радиуси са:

R1 = r*R/(R+r) - радиус на малката

R2 = r*R/(R-r) - радиус на голямата

където с R и r са отбелязани радиусите на вписаната и описаната окръжност около референтния триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача окръжности на Johnson-Yff съдържа следните стъпки:

посочват се три не колинеарни точки A, B, C  за върхове на референтния  триъгълник;

 в цикъл последователно се изчисляват: координати за пета на ъглополовяща, размер на ъгъл (в радиани), дължина на страна - по алгоритми представени в намиране елементи на триъгълник;

изчисляват се размерите на двата радиуса;

в цикъл, чрез теорема на Питагор, се изчисляват координати за център на всяка от трите окръжности Oa, Ob, Oc (на чертежа с цвят зелен)  и се построяват окръжностите с малкия, респективно с големия радиус - общата пресечна точка т.Q на тройката окръжности е означена на чертежа с цвят зелен;

в цикъл, чрез алгоритъм представен в пресичащи се окръжности, се изчисляват търсените пресечни точки - на чертежа са означени с цвят виолетов;

чрез алгоритъм разгледан в описана окръжност се построява търсената окръжност на Johnson-Yff - на чертежа с цвят виолетов, център т.P. 

В ETC, под номера X(1478) и Х(1479), са описани двете окръжности  на Johnson-Yff.

Изчислете и изведете разликата между радиуса на всяка от двете окръжности на Johnson-Yff и съответния радиус от окръжности на Yff.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от  изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: окръжности на Yff, триъгълник на Johnson, теорема на  Johnson.