педален триъгълник

С педален триъгълник (pedal triangle) се означават няколко помощни триъгълника. Общото между тях е, че от вътрешна за основния триъгълник точка се построяват перпендикулярни отсечки към страните на триъгълника. Петите на тези перпендикуляри представят върховете на педалния триъгълник. Разликата е критерия за избор на точка. В зависимост от избраната забележителна точка са следните названия за видове педален триъгълник:

ортоцентричен педален триъгълник, триъгълник Orthic (orthic triangle) - върхове му са петите на височините в основния триъгълник, т.е. допълнителната точка е ортоцентъра (X4 Kimberling). Има няколко интересни факта за ортоцентъра:  трите окръжности преминаващи през два върха на триъгълника и ортоцентъра му са с равни радиуси (теорема на Джонсън); разстоянието между ортоцентъра и центъра на описаната окръжност HO = 9R*R - (a*a + b*b + c*c). В произволен триъгълник от равнината ортоцентърът, центърът на описаната окръжност и медицентърът са инцидентни с една права - права на Ойлер. В даден остроъгълен триъгълник, вписания триъгълник с най-малък периметър е ортоцентричният - задача на Фагнано (Fagnano's Problem).

вътрешно допирен триъгълник, контактен триъгълник (contact triangle) e педален триъгълник с върхове допирните точки на вътрешно вписаната окръжност в основния триъгълник. Допълнителната точка е пресечната точка на ъглополовящите (X1 Kimberling).

външно допирен триъгълник, външно контактен триъгълник (extouch triangle) e триъгълник с върхове допирните точки на външно вписаните окръжности (excircles) за основния триъгълник (X40 Kimberling).

Алгоритъмът на построителната задача педален триъгълник съдържа следните стъпки:

избира се предварително вида педален триъгълник;

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

посочва се вътрешна за триъгълника точка Р - точка на Чева, на чертежа с цвят виолетов;

в цикъл се построяват проекциите (D, E, F) на посочената точка върху съответната страна на референтния триъгълник - по алгоритъм построяване на перпендикуляр от точка към права;

педалният триъгълник се изражда в права на Симсън, ако е избраната точка лежи на описаната окръжност.

изчислените координати на проекциите се свързват с отсечки - страни в търсения педален триъгълник DEF.

Прочетете допълнително материал за: контактен триъгълник, допирателен триъгълник, антипедален триъгълник, антикомплементарен триъгълник, права на Симсън, точка на Nagel.