доказателство на Леонардо да Винчи

В задачата доказателство на Леонардо да Винчи се разглежда правоъгълен триъгълник ABC и построени външно квадрати към всяка от страните - вятърна мелница. Допълнително са построени правоъгълен триъгълник IJH ≅ ABC и отсечка CH и ъглополовяща в двата правоъгълни триъгълника. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез лица на еднакви триъгълници и многоъгълници.

Алгоритъмът е неутрален по отношение разликата между дължини на катетите.

Всеки квадрат има следните оси на симетрия: двата диагонала и двойката симетрали на срещулежащите страни. Инцидентни с тях са двойката бимедиани, свързващи средите на съответните срещулежащи страни. Точките D, C, F са колинеарни и инцидентни с диагоналите FC, CD на съответните квадрати и образуват ос на симетрия. Така двата четириъгълника FABD ≅  FGED са еднакви.

Ъглополовящата CH (CH ⊥ FD - следствие от свойства на диагонал в квадрат) е обща страна на два еднакви четириъгълника CAIH ≅ CBJH равни съответни страни и срещулежащите им ъгли.

Ако четириъгълникът FABD се завърти по посока на часовниковата стрелка на 90⁰ с център на ротация т.А ще стане ясно, че двата четириъгълника CAIH и FABD са еднакви:

 AF = AC, AB = AI, BD = IH;

∢AFC = ∢ACH = ∢CHI = ∢BDF = 45⁰ -  свойства на ъглополовяща в правоъгълен триъгълник и диагонал в квадрат;

∢BAF = 90⁰ + ∢BAC; ∢IAC = 90⁰ + ∢BAC; ∢BAF = ∢IAC

∢DBA = 90⁰ + ∢ABC; ∢JBC = 90⁰ + ∢ABC; ∢DBA = ∢JBC

Двата четириъгълника CAIH и FABD са еднакви по равни съответни страни и срещулежащите им ъгли.

Sabdegf = Scaihjb

Sabdegf = Sacgf + Sbdec + 2*Sabc = AC² + BC² + 2*Sabc

Scaihjb = Sabji + 2*Sabc = AB² + 2*Sabc

AB² + 2*Sabc = AC² + BC² + 2*Sabc

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Леонардо да Винчи са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

Отсечката AO не е част от оригиналния чертеж, но служи за илюстрация, че: т.О е център на квадрата ABJI, CH разделя същия квадрат на два еднакви правоъгълни трапеца.

вариант на Хюйгенс и Леонардо да Винчи

В построителната задача вариант на Хюйгенс и Леонардо да Винчи се сравняват двата варианта на доказателство. Съществен момент е нагледното доказателство за свойство на ъглополовящата на правия ъгъл - перпендикулярна на общия диагонал в двата квадрата и инцидентна с центъра на квадрата на хипотенузата и връх на правия ъгъл в допълнително построените правоъгълни триъгълници. Задачата е от областта занимателна геометрия.

Алгебричното извеждане на доказателство на питагоровата теорема е поне по един от начините представени в задачите доказателство на Хюйгенс, доказателство на Леонардо да Винчи.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Евклид, доказателство на Хюйгенс, доказателство на Табит, доказателство с бином.