доказателство с правоъгълен трапец

В задачата доказателство с правоъгълен трапец (ADEB AD || BE) се разглеждат три подобни правоъгълни триъгълника (ACD ≈ BCE ≈ ABC), описана окръжност с център т.O и допирателна DE. Извежда се основното уравнение в питагоровата теорема чрез равенство на площи:

Sabc = Sacd + Sbcd = 0.5*Sadeb

Алгоритъмът на задачата  доказателство с правоъгълен трапец съдържа следните стъпки:

по посочени три не колинеарни точки се построява правоъгълен триъгълник ABC;

 изчисляват се координати за център т.O и радиус на описаната окръжност;

построява се допирателна в т.C към описаната окръжност: OC ⊥ DE радиус OC в точката на допиране;

от краищата на хипотенузата AB се построяват перпендикуляри към (отсечката от) допирателната AD ⊥ DE, BE ⊥ DE;

CO е средна отсечка в правоъгълния трапец ADEB - AD || BE || CO, AO = BO;

разглеждат се двата правоъгълни триъгълника ACD (с хипотенуза AC) и BCE  (с хипотенуза BC).

Доказва се подобие на правоъгълните триъгълници: ACD ≈ BCE ≈ ABC:

AD⊥DE, AC⊥BC; ∢CAD = ∢BCE като ъгли с перпендикулярни рамена - подобни правоъгълни триъгълници ACD ≈ BCE;

от равнобедрения триъгълник ACO (AO = CO)  ∢ACO + ∢ACD = 90⁰ следователно ∢BAC = ∢CAD.

Доказва се равенството Sabc = Sacd + Sbcd = 0.5*Sadeb:

от формула за лице на правоъгълен трапец: Sadeb = DE*(AD+BE)/2;

лице на трапец като сума на площи: Sadeb = Sacd + Sbce + Sabc;

DE*(AD+BE)/2 = CD*AD/2 + CE*BE/2 + Sabc;

DE*(AD+BE)/2 = DE*AD/4 + DE*BE/4 + Sabc;

DE*AD/2 + DE*BE/2 = DE*AD/4 + BE*DE/4 + Sabc;

Sabc = DE*(AD+BE)/4;

лицето на правоъгълния триъгълник е половината от лицето на правоъгълния трапец Sabc = Sacd + Sbce

Подобните правоъгълни триъгълници (ACD ≈ BCE ≈ ABC) имат равни отношения между лице и квадрат на хипотенуза.

Sabc/AB² = Sacd/AC² = Sbce/BC² = m;

Sabc =m*AB²;  Sacd = m*AC²; Sbce = m*BC²;

m*AB² = m*AC² + m*BC²  от доказаното равенство: Sabc = Sacd + Sbce;

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

В задачата доказателство на Гарфийлд също се разглежда правоъгълен трапец и три правоъгълни триъгълника - единия равнобедрен останалите два еднакви.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство с равнобедрен трапец, доказателство на Molokach, доказателство на Voets, доказателство с полувписана окръжност.