теорема на van Schooten

В теорема на van Schooten (van Schooten theorem) се разлежда равностранен триъгълник, описана окръжност. Извебда се, че разстоянието между точка, инцидентна с описаната окръжност и най-отдалечения връх на триъгълника е равно на сумата от разстоянията от точката до другите два върха в триъгълника. 

Теоремата е частен случай за по-общата теорема на Помпей - разглежда се описан равностранен триъгълник от равнината и т.М от същата равнина, така че разстоянията MA, MB, MC образуват евентуално страни на дегенериран триъгълник.

На чертежа е представен случая AD > BD > CD.

Алгоритъмът на построителната задача теорема на van Schooten съдържа следните стъпки:

посочват се координати на три не колинеарни точки A, B, D;

изчислява се разстоянието AB за страна на равностранния триъгълник - по алгоритъм разстояние между две точки;

построява се равностранния триъгълник ABC;

изчисляват се координати за център т.О, и радиус R на описаната окръжност;

изчислява се разстоянието ОD - дължина на вектора и ъгъл на наклон ϕ;

преизчисляват се полярните координати на т.D - с начало т.О, радиус вектор R и изчисления ъгъл на наклон ϕ;

построяват се отсечките DA, DB, DC и се изчислява тяхната дължина;

С изчислените стойности се извършва проверка на дефинираното в теоремата на van Schooten равенство.

Трите отсечки са страни на дегенериран триъгълник - за триъгълник от равнината коя да е страна има дължина по-малка от сумата от дължините на останалите две страни в същия триъгълник.

Доказателство на равенството в теорема на van Schooten може да бъде изведено чрез първата теорема на Птоломей за описан четириъгълник: произведението от диагоналите на всеки вписан четириъгълник е равно на сумата от произведенията на срещулежащите страни.

|BC|*|AD| = |AC|*|BD| + |AB|*|CD|

за равностранен триъгълник AB = BC = AC = a

a*|AD| = a*|BD| + a*|CD|

Пример за числа представящи страни на дегенериран триъгълник са числа на Фибоначи. За всеки три съседни числа последното е сума от преходните две.

Подобен резултат дава и теорема на Мавло (Mavlo's theorem): произволен триъгълник отсича от своята 9-точкова окръжност три дъги, такива че дължината на най-голямата от тях е равна на сумата от дължините на останалите две.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: четириъгълник, окръжност, точка, теорема на Птоломей, теорема на Помпей, теорема на Brahmagupta-Mahavira.