9-точкова окръжност

9-точкова окръжност (окръжност на деветте точки, nine point circle) може да бъде построена за произволен триъгълник от равнината. Хронологично описанието за задачата е с различни имена: 

6-точкова окръжност - минава през пети на височини, пети на медиани, като доказателството е представено в теорема на Фойербах (Feuerbach);

9-точкова окръжност - част от характерните точки са описани в 6-точковата и допълнително са доказва, че минава през средата на отсечката ортоцентър - връх на триъгълник. Множество автори поотделно правят публикации, но Terquem пръв дава името 9-точкова окръжност.

12-точкова окръжност - допира се до трите външно вписани окръжности като публикацията отново е на Фойербах, в негова чест допирните точки са наречени точки на Фоейрбах;

n-точкова окръжност - вписаната окръжност и 9-точковата окръжност са две допиращи се окръжности.

Не съществува изрично доказателство, че първи Ойлер е описал свойствата на 9-точковата окръжност, но съществува и названието окръжност на Ойлер. Основанието за паралелно съществуване на  различните имена за тази окръжност е вероятно различният акцент на описваните характерни свойства.

Други зависимости:

R = 2*Re, където R e радиус на описаната окръжност, Rе е радиус на 9-точковата окръжност;

EO = EH, където т.O е център на описаната окръжност, т.E е център на 9-точковата окръжност, т.H е ортоцентър - 9-точковата окръжност и ортоцентроидната окръжност са концентрични;

HE = 3*EM, където т.M е медицентър;

EA² + EB² + EC² + EH² = 3*R², където отсечките EA, EB,  EC са разстоянията от центъра на 9-точковата окръжност до върховете на референтния триъгълник;

центърът на описаната окръжност т.O, центърът на 9-точковата окръжност т.E, медицентърът т.М, ортоцентърът т.H са колинеарни точки инцидентни с права на Ойлер;

съществува интересна зависимост между дължините на хордите, които 9-точковата окръжност отсича от страните на референтния триъгълник;

 разполовява отсечките ортоцентър : връх на триъгълника.

От определението за 9-точкова окръжност автоматично следва, че тя е едновременната описана окръжност на медиален триъгълник и триъгълник Orthic за референтния триъгълник.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: права на Ойлер (9-точкова окръжност), теорема на Фойербах, теорема на Мавло, точки на Фойербах, окръжност на Terquem.