доказателство на Хюйгенс

В задачата доказателство на Хюйгенс  се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник и построени външно квадрати към всяка от страните - вятърна мелница. Допълнително са построени CK ъглополовяща в правоъгълния триъгълник и инцидентна с центъра на квадрата към хипотенузата. Отсечка MN || AB, 4 правоъгълни триъгълника еднакви с референтния триъгълник. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема  чрез лица на триъгълници/четириъгълници.

Основни моменти в изведеното доказателство са:

▲AIK  ≅ ▲BJK  ≅ ▲ALI  ≅ BLJ ≅ ▲ABC - ▲AIK е получен като завъртане ▲ABC по часовата стрелка на 90⁰ с център на ротация т.А, AK = AC;

▲BJL е получен като завъртане на▲ABC срещу часовата стрелка на 90⁰ с център на ротация т.В, BL = BC = BD;

▲ABL  ≅ ▲IJК по три страни;

CK ⊥ DF свойства на диагонал в квадрат;

от Елементи на Евклид: ако триъгълник е вписан в успоредник, имат обща страна и върхът на триъгълника е между другите две успоредни страни, то лицето на успоредника е равно на удвоеното лице на същия триъгълник. Това твърдение е и основа на алгоритъма за изчисляване на ориентирано лице.

Четириъгълникът ABNM е правоъгълник (успоредник): Sabnm = 2*Sakb = AC²

Smnji = 2*Sjki = BC²

лице на квадрата Sabji = AB² = Sabnm + Smnji;

AB² = Sabnm + Smnji;

от предходните две уравнения следва:

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Алгоритъмът е индиферентен по отношение разликата между дължини на катетите. Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Хюйгенс са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

вариант на Хюйгенс

В задачата вариант на Хюйгенс се разглежда разностранен правоъгълен триъгълник ABC и построени външно квадрати към всяка от страните - вятърна мелница. Извежда се нагледно доказателство за питагорова теорема чрез лица на еднакви триъгълници.

Построена е отсечка DF свързваща срещулежащите върхове на квадратите към двата катета - диагонал и ъглополовяща в съответните квадрати. В квадрати AFGC, BDEC е построен втория диагонал AG, BE, от срещулежащите върхове на квадратите се построени отсечки успоредни на хипотенузата, разделящи квадратите на две двойки еднакви триъгълници - означени (1,1), (2,2), (3,3), (4,4).

Следващата част на алгоритъма почти изцяло съвпада със съответната част в задачата доказателство на Хюйгенс.

Построена е ъглополовяща CL и нейното продължение в т.К. Ъглополовящата CL е перпендикулярна на диагоналите CF, CD - свойство на диагонал в квадрат.

В квадрата AIJB към хипотенузата са построени два правоъгълни триъгълника еднакви с референтния ABC.

Построени са ъглополовящи от върха на правия ъгъл и за двата триъгълника. Всяка от тях е перпендикулярна на CK/успоредна на DF.

Катетите на двата триъгълника и построените ъглополовящи разделят квадрата AIJB на 8 триъгълника всеки от които е еднакъв със съответния триъгълник от квадратите към катетите.

Sacgf = AC² = 2*S1+  2*S2 ;

Sbdec = BC² =2*S3 + 2*S4;

Sabji = AB² = 2*S1 + 3S2 + 2*S3 + 2*S4;

AB² = (2*S1+ S2 ) + (2*S3 + 2*S4);

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Евклид, доказателство на Леонардо да Винчи, доказателство на Табит, доказателство с бином.