вътрешна допирателна

Вътрешната допирателна на две окръжности е права допираща се едновременно до две не пресичащи се окръжности. Тя, вътрешната допирателна,  пресича отсечката свързваща техните центрове. Вътрешна допирателна имат само окръжности, за които междуцентровото разстояние е по-голямо от сумата на техните радиуси. Общата (пресечната) точка на двете вътрешни допирателни лежи на отсечката свързваща двата центъра и е между допирните точки.

Описание на алгоритъм за построяване на вътрешна допирателна.

Посочват се 4 точки: т.1 - център O(x,y); т.2 - край на радиус R; т.3 - център Q(x,y); т.4 - край на радиус r.

Изчертават се двете окръжности.

Изчислява се междуцентровото разстояние OQ, чрез алгоритъм разстояние между две точки.

OQ = sqr((Ox-QX)^2 + (Oy-QY)^2)

Изчислява се ъгъл α - ъгъла на наклон на отсечката OQ с положителната посока на абсцисната ос. Използва се алгоритъм за изчисляване ъгъл на права.

α = аtn(( -Oy + Qy) / (Ox - Qx))

В поставената задача се търси построяване на двойка вътрешни допирателни - AC и BD.

От свойство на допирателна (перпендикулярна на радиуса в точката на допиране) се получават две двойки еднакви правоъгълни триъгълника - OAE и OBE, както и QDE и QCE.  Еднаквост в правоъгълни триъгълници  - ако две страни от триъгълник и ъгъл срещу по-голямата страна са съответно равни на две страни от друг триъгълник и ъгъл срещу по-голямата, то двата триъгълника са еднакви.

Разглежда се двойката подобни правоъгълни триъгълника OAE и QCE с равни връхни ъгли.

OE + QE = OQ

OE/QR = R/r

Чрез коефициента на подобие k = R/r се изчисляват дължините на отсечките OE и QE.

Изчисляват се полярните координати на т.E.

Ex = Ox + OE*cos(α)

Ey = Oy + OE*sin(α)

Изчисляват се дължините на отсечките AE и CE - чрез теорема на Питагор.

Разглежда се правоъгълния триъгълник OAE и чрез теорема на Питагор се изчислява дължина на отсечката AE.

Изчислява се ъгъл EOE:  β = atn(AE/R).

Изчислява се ъгъл γ = α + β

Изчисляват се полярните координати на т.А

Ax = Ox + R*cos(γ)

Ay = Oy + R*sin(γ)

Изчисляват се полярните координати на т.C - страните OA о QC са успоредни:

Cx = Qx + r*cos(γ + π)

Cy = Qy + r*cos(γ + π)

Описаният алгоритъм се повтаря (разликата е в изчисления ъгъл) за построяване на втората вътрешна допирателна.

При външна допирателна пресечната точка принадлежи на продължението на отсечката свързваща двата центъра и на продължението на отсечката свързваща съответните допирни точки. По-често срещана задача е обща външна допирателна на 2 и повече окръжности.

Да се реализира проект, чрез който се въвеждат данни за две окръжности и се построява вътрешна допирателна към тях.

Прочетете допълнителен материал за изчислителна геометрия: окръжност, ъгли в окръжност, радиус, описана окръжност, вписана окръжност, допирателна, външно вписана окръжност, външна допирателна, пресичащи се хорди, пресичащи се секущи, построяване обща вътрешна допирателна на две окръжности.

Подобни алгоритми на описаните се използват и при построяване на:

допирателен триъгълник (extangens triangle) - върхове в пресечните точки на 3-те външни допирателни към външно вписаните окръжности;

външно централен триъгълник (excentral triangle) - върхове в центровете на трите външно вписани окръжности;

външно контактен триъгълник (extouch triangle) - върхове в допирните точки на трите външно вписани окръжности;

окръжност на Мандарт (Mandart circle) е описаната окръжност около външно допирния триъгълник (extouch triangle) на произволен триъгълник ABC.

В проективната геометрия теоремата на Монж (Monge's Circle Theorem) гласи: за всеки три окръжности, с различни радиуси, всяка от които не принадлежи изцяло на друга от тях, пресечните точки на общите външните допирателни към всяка отделна двойка окръжности лежат на обща права.