доказателства на питагоровата теорема

Чрез питагорова теорема се извеждат отношения между страните на правоъгълен триъгълник. Това е теоремата с най-много известни доказателства и техния брой продължава да расте.

Видове доказателства:

доказателства чрез лица/площи с два основни клона: а) описан квадрат: Bhaskara, Rufas, Табит; б) вятърна мелница - квадрати построени външно къв всяка от страните на правоъгълния триъгълник: Евклид 1 и 2, Pap, Леонардо да Винчи, Хюйгенс и др.

чрез дисекция с три основни клона, чиято разделителна линия е разлика между дължина на катетите. И в трите разновидности се ползва предимно конфигурацията на Евклид. Такива са: а) със задължително равенство на катетите са всички построения с тесалация: равнобедрен триъгълник, с танграм, с карти на Wang; б) със задължително неравенство на катетите са: с питагорови тройки, доказателство на Nilsen, доказателство на Jing, доказателство на Liu Hui; в) разликата в дължините на катетите е без значение: на Lasvergnas, на ъглополовящата, на Perigal и др.

други свързани с правоъгълен триъгълник: височина към хипотенузата, доказателство на Socrat, доказателство на Garfield, комбинация от 2 и повече доказателства, вид тесалация, големия брой задачи с двойка перпендикулярни правоъгълни триъгълника и други.

Част от чертежа представя доказателство с подобни триъгълници.

В правоъгълния триъгълник ABC е построена височина CD към хипотенузата. Образуваните правоъгълни триъгълници ACD и BDC са подобни с референтния триъгълник ABC.

В задачата обратна теорема на Питагор се разглежда правоъгълен триъгълник с катети BC, AC, хипотенуза AB, височина към хипотенузата CD.

Ако в теоремата на Питагор се извежда равенството: AC² + BC² = AB², то в обратната теорема на Питагор се извежда равенство с реципрочни стойности: 1/AC² + 1/BC² = 1/CD².

Най-малките цели числа удовлетворяващи равенството са стойностите AC = 20, BC = 15, CD = 12 с НОЗ = (3*3)*(4*4)*(5*5). Така:

НОЗ / 400 + НОЗ / 225 = НОЗ / 144;

9 + 16 = 25, което е и най-малката питагорова тройка.

Проверете твърдението: дадени са 4 естествени числа x, y, z, n като z>x, z>y.

Равенството x^n + y^n = z^n е удовлетворено при:

за произволно n и x = y = z = 0 - графичното представяне е точка;

за n = 1 и и естествени числа x, y, z - графичното представяне може да бъде отсечка/изроден триъгълник;

за n = 2 и естествени числа x, y, z като елементи от числовата редица питагорови тройки - графичното представяне е питагоров триъгълник.

а за n > 2 и естествени числа x, y, z?

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство с подобни триъгълници са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

Отделните елементи на чертежа са:

еднакви квадрати:

CEGI ≅ ACBJ имат страна с дължина a+b и обща част правоъгълник ACBJ;

ABFU ≅ ABTS имат обща страна AB с дължина на хипотенузата;

HKFG ≅ ACON имат страна с дължина на катет b;

AIHJ ≅ BRQC имат страна с дължина на катет a;

квадрат JKLM, чиято страна е с дължина (абсолютната стойност на) разликата между двата катета b-a;

еднакви правоъгълни трапеци:

EFAC ≅ AIGF с дължини на основите дължини на двата катета a, b;

еднакви правоъгълници:

KBEF ≅ ULFG ≅ ACBJ ≅ COPQ с дължина на диагонал хипотенузата c;

еднакви правоъгълни триъгълници с обща страна диагонал на правоъгълник:

ULF ≅ UGF ≅ KBF ≅ BEF ≅ ACB ≅ AJB ≅ AIU ≅ AMU ≅ COP ≅ CQP ≅ BRT ≅ ANS ≅ TPS;

еднакви правоъгълни равнобедрени триъгълници:

ABF ≅ AUF с дължини на катетите хипотенузата c;

Представеният чертеж обединява следните доказателства:

доказателство на Табит: контур ABRPN съдържащ референтния правоъгълен триъгълник ABC, квадрати ACON, BRQC, ABTS;

доказателство на Garfield: контур EFAC, в правоъгълния трапец с височина сумата на двата катета и основи с дължина съответния катет. Аналогично и за еднаквия с него правоъгълен трапец AIGF.

доказателство на Bhaskara: квадрат ABFU (със страна c) и вписани в него 4 еднакви правоъгълни триъгълника (AMU, AJB, KBF, ULF) и квадрат JKLM. Основната разлика между доказателствата на Bhaskara и Jing е изискването за наличие на питагорова тройка - определени отношения между страните на правоъгълния триъгълник.

доказателство на Rufas: квадрат CEGI (с дължина на страна a+b) и вписани в него 4 еднакви правоъгълни триъгълника (UGF, BEF, ACB, AIU) чиито хипотенузи образуват квадрата ABFU.

доказателство на Zhong: квадрат CEGI (с дължина на страна a+b) и вписани в него квадрати HKFG, AIHJ и еднаквите правоъгълници KBEF, ACBJ. Основната разлика между това доказателство и едно от най-старите доказателства с предполагаем автор Питагор е допълването на равнобедрения правоъгълен триъгълник ABF до квадрат.

Чрез питагорова теорема се извежда и основното тригонометрично тъждество sin²(α) +  cos²(α) = 1.

За правоъгълния триъгълник ABC с катети AC, BC и хипотенуза AB:

sin(α) = AC/AB;  sin²(α) = AC²/AB²;

cos(α) =  BC/AB;  cos(α)² = BC²/AB²

sin(α)² + cos(α)² = (AC² + BC²)/AB²;

sin(α)² + cos(α)² = 1

Оригиналното доказателство на Питагор е изгубено през вековете, до наши дни са останали само част от оригиналния ръкопис Елементи на Евклид. Част от разглежданите доказателства са обединени с по-общото заглавие занимателна геометрия, т.к. не са свързани с конкретна публикация, ако има такава.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Гарфийлд, доказателство на Bhaskara, доказателство на Леонардо да Винчи, доказателство на Nelsen, доказателство на Табит и др.