външна допирателна

Външната допирателна е едновременно допирателна на две окръжности. Ако двете окръжности са с различен радиус  външната допирателна пресича отсечката, определена чрез центровете на окръжностите. За окръжности, които не са вписани една в друга съществуват две външни допирателни. Общата точка на двете допирателни не лежи между допирните точки.

Описание на алгоритъм за построяване на външна допирателна.

Посочват се 4 точки: т.1 - център O(x,y); т.2 - край на радиус R; т.3 - център Q(x,y); т.4 - край на радиус r

Изчертават се двете окръжности. От свойство на допирателна (перпендикулярна на радиуса в точката на допиране) ще се получи правоъгълен трапец с основи R и r, бедро OQ и височина MN. В следващата част на описанието се приема, че R>r.

Изчислява се междуцентровото разстояние OQ, чрез алгоритъм разстояние между две точки.

OQ = √((Ox-QX)² + (Oy-QY)²)

Изчислява се ъгъл γ - ъгъла на наклон на отсечката OQ с положителната посока на абсцисната ос.

γ = Atn(( -Oy + Qy) / (Ox - Qx))

Изчислява се дължина на отсечката QT чрез теорема на Питагор, като катет от правоъгълния триъгълник OTQ с хипотенуза OQ и катет OT = abs(R-r). Четириъгълникът TQNM е правоъгълник. Защо? 

Изчислява се дължина на общата външна допирателна: MN = QT = √(OQ² - OT²)

Изчислява се ъгъл β (QOT) - ъгъла на наклон на отсечката, катет в правоъгълния триъгълник. Този ъгъл е спрямо междуцентровото разстояние OQ. Отсечката QT е с дължина общата външна допирателна MN.

β = atn(OT/QR)

Изчислява се ъгъла на наклон на радиуса OM - ъгъл α = β + γ.

Изчисляват се полярните координати на т.M:

Mx = Ox + R*cos(α)

My = Oy + R*sin(α)

Изчисляват се полярните координати на т.N:

Nx =Qx + r*cos(α)

Ny = Qy + r*sin(α)

Описаният алгоритъм се повтаря (разликата е в изчисления ъгъл) за построяване на втората външна допирателна.

Да се реализира проект, чрез който се въвеждат данни за две окръжности и се построява външна допирателна към тях.

Подобни алгоритми на описаните се използват и при построяване на:

степен на точка - две външни допирателни от обща точка външна за окръжност;

триъгълник с външни допирателни (extangens triangle) - върхове в пресечните точки на 3-те външни допирателни към външно вписаните окръжности;

външно централен триъгълник (excentral triangle) - върхове в центровете на трите външно вписани окръжности;

външно контактен триъгълник (extouch triangle) - върхове в допирните точки на трите външно вписани окръжности;

окръжност на Мандарт (Mandart circle) е описаната окръжност около външно контактния триъгълник (extouch triangle) на произволен триъгълник ABC.

В проективната геометрия теоремата на Монж (Monge's Circle Theorem) гласи: за всеки три окръжности, с различни радиуси, всяка от които не принадлежи изцяло на друга от тях, пресечните точки на общите външните допирателни към всяка отделна двойка окръжности лежат на обща права.

Прочетете допълнителен материал за изчислителна геометрия: окръжност, ъгли в окръжност, радиус, описана окръжност, вписана окръжност, външно вписана окръжност, допирателна, вътрешна допирателна, степен на точка,  пресичащи се хорди, пресичащи се секущи, теорема на Монж, построяване обща външна допирателна към две окръжности.