теореми и формули

Представеният списък с теореми и формули няма претенции за пълнота и изчерпателност в дефинициите. Целта, чрез използване на нагледно доказателство, е демонстриране многовариантност на решението. Основните теореми в геометрията са малко на брой, останалите теореми могат да бъдат доказани чрез тях.

косинусова теорема: квадратът на страна в произволен триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на същите страни и косинус от ъгъла, заключен между тях. Формулата най-често се представя като: a² =  b² +  c² - 2bc*cos(A); b² =  a² +  c² - 2ac*cos(B); c² =  a² +  b² - 2ab*cos(C);

синусова теорема: в произволен триъгълник от равнината отношението между дължина на страна и стойност на синус от срещулежащия й ъгъл е равно на диаметъра на описаната окръжност около триъгълника. Формулата най-често се представя като: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2*R. За правоъгълен триъгълник едно от представените равенства за синусова теорема е следствие от частен случай от теорема на Талес за правоъгълен триъгълник.

теорема за британския флаг (British flag theorem) - разглежда правоъгълник и вписана в него точка. Точката е общ връх на 4 квадрата всеки със страна разстоянието между общата точка и съответния връх на правоъгълника. Името е релация с вида на британския флаг и триъгълниците, които страните на квадратите отсичат от правоъгълника;

теорема за допирателна и хорда (tangent-chord theorem, alternate segment theorem): периферният ъгъл между хорда и допирателна в нейна крайна точка е равен на периферния ъгъл между хордата и допирателната в противоположния край на хордата;

теорема за допирателна и секуща (Tangent secant_theorem) - извежда доказателство за равенството: ако от външна за окръжност точка M се построят допирателна в т.С с дължина МС и секуща пресичаща окръжността в т.A и т.B (отсечката МА лежи извън окръжността, а отсечката AB е хорда в окръжността), то е в сила равенството MC² = AM*BM;

теорема за пресичащи се секущи (Intersecting secants theorem) - подобна на теоремата за степен на точка: ако две пресичащи се секущи (продълженията на две хорди се пресичат извън окръжността), то произведението от дължините на външната отсечка и сегмента на едната секуща е равно на произведението от дължините на другата секуща и нейната външна отсечка;

теорема за равни хорди (Constant chord theorem): разглежда хорди в две пресичащи се окръжности. Нека k1 и k2 са две пресичащи се окръжности (R1>R2) с обща хорда PQ. Ако от 2 произволни точки A, B инцидентни с k1 се построят секущи през крайните точки на общата хорда и инцидентните с k2 точки C, D, E, F (колинеарни са следните тройки APC, AQD, BPE, BQF)  то може да бъде изведено равенството между хордите  с крайни точки точките на двойката секущи:  CD = EF.

теорема за симедиана - в триъгълник ABC, описана окръжност с център т.О, медиана CM, ъглополовяща CL, двойка допирателни AN, BN с допирни точки към описаната окръжност крайните точки на страната AB. Извежда се нагледно доказателство за равенство на ъглите: ∢BCM = ∢ACN.

теорема за средно геометрично (Geometric mean theorem): в правоъгълен триъгълник квадратът на височината към хипотенузата е равен на произведението на проекциите (m,n) на двата катета върху хипотенузата hc² = m*n;

теорема за степен на точка (power of a point) разглежда точка P(x,y) спрямо окръжност с център O(x,y) и радиус R и извежда чрез пропорция разстоянието между окръжност и външна точка;

теорема за счупената хорда:  разглежда триъгълник ABC, описана окръжност, диаметри (симетрали) DE, FG и от тяхна крайна точка перпендикуляри (DK, IN) към страната AC. Извежда се нагледно доказателство, че т.К разполовява сумарната дължина на хордите AC+BC.

теорема за трите перпендикуляра: нека са дадени: равнина α, права a, принадлежаща на равнина α, права  b, наклонена към равнината α и имаща прободна точка B и ортогонална проекция b1.  Правата a е перпендикулярна на права b, ако е перпендикулярна на ортогоналната ѝ проекция - a⊥b, ако a⊥b1;

теорема за ъглополовяща: ъглополовящата AD на вътрешен ъгъл в триъгълника дели срещулежащата страна в отношение равно на отношението между двете принадлежащи страни BD/CD=AB/AC;

теорема на Anne (Anne's_theorem): разглежда равенство между области от изпъкнал четириъгълник, в който няма двойка успоредни страни;

теорема на Blanchet (Blanchet's Theorem) разглежда остроъгълен триъгълник с построена височина CH към страната AB. Избрана е произволна точка М от  страната BC, построена е отсечка AM и пресечната точка K = AM x CH. През т.K е построена е отсечка BN  - N = AC x BN. Извежда се доказателство, че CH е ъглополовяща за ъгъла NHM.

теорема на Bottema: разглежда произволен триъгълник ABC от равнината с построени външно квадрати (BKLC, AMNC) към две отс страните. Доказва се твърдението: т.Т среда на отсечката (KM), свързваща срещулежащите върхове на квадратите не зависи от положението на общия връх C. На чертежа е построен допълнителен триъгълник ABD, външно на страните квадрати (BEFD, AIJD) и отсечката (EI), свързваща срещулежащите върхове на втората двойка квадрати. Среда на двете отсечки (KM, EI) е тяхната пресечна точка т.Т.

теорема на Brianchon (Brianchon theorem): ако 6-ъгълник е описан около конично сечение, то диагоналите, свързващи срещулежащи върхове, се пресичат в една точка;

теорема на Brahmagupta-Mahavira: извежда съотношение между дължините на диагонали и страни за вписан четириъгълник. Изведената формула е:  m²= ( a*b + c*d) *( a*c + b*d)/(a*d+ b*c); п² = ( a*c + b*d)*( a*d+ b*c )/(a*b + c*d);

теорема на Casey (Casey's Theorem) - разглежда случай, в който четири окръжности (с център Оa, Оb, Оc, Оd) се допират (вътрешно) до окръжност с център О.  Построени са външни допирателни между всяка двойка окръжности срещулежащи двойки (a,c) и (b, d) както и двете външни допирателни по диагонал (e, f). Изведена формула за  равенство: a*c + b*d = e*f;

теорема на Clifford: разглежда четири конкурентни окръжности, за които няма група от три колинеарни пресечни точки. През всяка група от три пресечни точки са построени нови 4 окръжности. Извежда се нагледно доказателство за съществуване на обща пресечна точка между четирите допълнителни окръжности, която в общия случай не съвпада с общата пресечна точка на първите 4 окръжности.

теорема на Commandino: в тетраедър медианите се пресичат в една точка, която ги разделя в съотношение 3:1 считано от върха на тетраедъра;

теорема на Droz-Farny (Droz-Farny Theorem): ако през ортоцентъра на триъгълник са начертани две перпендикулярни прави линии, то те отсичат отсечка от всяка от трите страни на триъгълника (или от техните продължения). Средите на трите отсечки са колинеарни.

теорема на Fontene: ако в триъгълник се построи медиален триъгълник, описаната около него 9-точкова окръжност и педален триъгълник за точка на Чева, както и пресечните точки на страните (или техните продължения) на двата триъгълника (медиален и педален), то отсечките свързващи получените пресечни точки с връх на медиалния триъгълник са конкурентни - имат за обща пресечна точка точката на  Fontene. Тя е и една от две пресечни точки между описаните окръжности около педалния триъгълник и 9-точковата окръжност.

теорема на Fuhrmann (Fuhrmanns Theorem): ако в изпъкнал шестоъгълник се построи диагонал за всяка двойка срещулежащи страни, така че да свързва началото на всяка от страните то може да бъде изведено равенството между произведението на трите диагонала (x*y*z) и сумата от произведенията на: всяка двойка срещулежащи страни и несвързващия ги диагонал ( a*d*z + b*e*x + c*f*y) - първите три последователни страни (a*b*c) и трите срещулежащи страни (d*e*f). Изведена формула за  равенство: x*y*z = a*d*z + b*e*x + c*f*y + a*b*c + d*e*f.

теорема на Fuss (Fuss theorem): разглежда едновременно вписан и описан четириъгълник и извежда формула за междуцентровото разстояние OQ на двете окръжности. Изведената формула е:  1 / (R - r)² + 1 / (R + OQ)² = 1 / r²;

теорема на Gauss-Bodenmiller (Gauss-Bodenmiller theorem): ако във вписан четириъгълник се построят три окръжности всяка с диаметър съответния диагонал на пълния четириъгълник, то пресечните точки на окръжностите са колинеарни и определят еднозначно тяхната радикална ос - права на Gauss-Bodenmiller;

теорема на Gergonne - разглежда чевиани в триъгълник и извежда сума от отношения на дължините на отсечките пресечна точка на чевиани - пета на чевиана към дължина на същата чевиана. Ако в триъгълник ABC вътрешна точка K е общата пресечна точка три чевиани AD, BE и CF, то изведените формули за равенства са: 1) KD/AD  + KE/BE + KF/CF = 1; 2)  AK/AD  + BK/BE + CK/CF = 2.

теорема на Griffiths (Griffiths theorem) - разглежда се триъгълник ABC, описана окръжност, две диаметрално разположени точки D, E, съответните им k, n, прави на Симсън (Simson line). Извежда се нагледно доказателство: двете прави  на Симсънса взаимно перпендикулярни, а тяхната пресечна точка т.G = k x n е инцидентна с 9-точковата окръжност на референтния триъгълник. 

теорема на Haruki (Haruki's_Theorem): ако три пресичащи се окръжности, всяка от които има по две пресечни точки с останалите две, то дължините на хордите свързващи вътрешните пресечни точки с външните, удовлетворяват равенството:x*y*z = a*b*c;

теорема за Eutrigon: разглежда два равностранни триъгълника с общ връх и дължина на страната съответно a,b. Две от страните на триъгълниците са инцидентни с една и съща права. Срещулежащите върхове на отсечката (инцидентна с правата) и общия връх образуват триъгълник (Eutrigon) с остър ъгъл 60⁰, срещулежащата страна (хипотенуза) имаща дължина с и дължини на страните (рамена на ъгъла) съответно a и b. Извежда се доказателство за връзка между лица на построените триъгълници:

теорема на Hoehns (Hoehns Theorem, Pratt-Kasapi Theorem) - разглежда изпъкнал 5-ъгълник.  Пресечните точки на диагоналите са върхове също на изпъкнал 5-ъгълник, вписан в референтния 5-ъгълник. Теоремата извежда формула за равенство на произведението от дължините на отсечките с начало връх на 5-ъгълника и край пресечната точка с диагонал: AL*BM*CN*DO*EK = CK*DL*EM*AN*BO както и: AK*BL*CM*DN*EO = CL*DM*EN*AO*BK.

теорема на Jacobi - разглежда точка в евклидова равнина, определена от триъгълник ABC и три не непременно равни ъгъла α, β и γ. Ако към всяка страна на референтния триъгълник се построи триъгълник, така че ъгъла при основата му да е равен на ъгъла при основата на съседния триъгълник имащ за връх същия връх на референтния триъгълник, то правите инцидентни с връх на референтния триъгълник и срещулежащия връх на съответния триъгълник имат обща пресечна точка;

теорема на Johnson (Johnson's theorem): ако в остроъгълен триъгълник ABC се построят трите триъгълника  HAB, HBX, HCA (два различни върха и ортоцентъра H), то 3-те описани окръжности около тези триъгълника имат еднакви радиуси;

теорема на Kiepert: ако равностранните триъгълници (от теоремата на Наполеон) се заменят с подобни равнобедрени триъгълници, то правите свързващи връх на референтния триъгълник със срещулежащия връх на съответния равнобедрен триъгълник имат обща точка;

теорема на Mansion: всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник;

теорема на Marion (Marion's Theorem): ако в триъгълник всяка от страните се раздели на три равни части и всяка от тези точки се свърже със срещулежащия връх, то отношението между лицето референтния триъгълник и лицето на образувания изпъкнал шестоъгълник в централната област е величина постоянна;

теорема на Miquel-Shtajner: ако в четириъгълник (без успоредни страни) се построят пресечните точки на двете двойки срещулежащи страни и 4 окръжности, всяка от които минава през крайните точки на страна и пресечната точка на другата двойка срещулежащи страни, то окръжностите се пресичат в обща точка;

теорема на Newton (теорема на Нютон, Newton's theorem - quadrilateral) извежда се твърдението: за всеки описан четириъгълник, различен от ромб/квадрат, центърът на вписаната окръжност лежи на една права със средите на диагоналите в същия четириъгълник.

теорема на Petr-Douglas-Neumann (Petr-Douglas-Neumann Theorem, PDN theorem): от върховете на произволен n-ъгълник в равнината може да се получи правилен n-ъгълник като началният брой страни се запазва. Теоремата може да се разглежда като обобщение на теоремата на Наполеон (произволни триъгълници) и теоремата на ван Обел (произволни четириъгълници).

теорема на Pick: лице на равнинен многоъгълник с върхове възли на квадратна решетка може да бъде представено чрез формулата:S = K + 0.5*(M + N) - 1, където K - брой възли на квадратната мрежа затворени в контура - на чертежа със син цвят; M - брой възли на квадратната мрежа, през които минава страна на многоъгълника - на чертежа с оранжев цвят; N - брой върхове на многоъгълника - на чертежа с черен цвят;

теорема на Pivot (Pivot theorem): ако върху всяка от страните на триъгълника ABC се избере точка, лежаща между два върха и се построят три окръжности преминаващи през две от избраните точки и връх от триъгълника, то трите окръжности преминават през една и съща точка;

теорема на Reuschle - разглежда произволен триъгълник и т.M - точка на Чева. С върхове пети на чевианите AD, BE, CF е построен триъгълник на Чева и неговата описана окръжност. Тя отсича от страните на референтния триъгълник отсечки JD, EK, FI. Извежда се нагледно доказателство, че отсечките AJ, BK, CI са конкурентни с обща пресечна точка т.N.

теорема на Routh (Routh's theorem) извежда отношение между лицата на триъгълник и частта образувана от пресичането на три чевиани. В триъгълник от равнината ABC са построени три чевиани AD, BE, CF, така че петите им делят страните в отношение x = CD:BD; y = AE:CE; z = BF:AF. Отношението между лицата на триъгълника ABC и лицето на образувания вписан триъгълник PQR, с върхове пресечните точки на чевианите, може да бъде представено чрез следната формула:  ((x*y*z-1)^2) /((x*y + y + 1)*(y*z + x + 1)*(z*x + x + 1)).

теорема на Salmon (theorem Salmon): ако през точка от окръжност се построят три хорди и за всяка от тези хорди се построи нова окръжност с диаметър дължината на съответната хорда, то втората пресечна точка за всяка двойка от тези окръжност е инцидентна с една и съща права;

теорема на Schiffler доказва, че правите на Ойлер за референтния триъгълник ABC и триъгълниците BCI , CAI , ABI имат обща пресечна точка т.S - за т.I център на вписаната окръжност;

теорема на Thebault-Dao - представлява развитие на първата теорема на Thebault - ако върху всяка от страните на успоредник се построи квадрат, то пресечните точки на диагоналите са върхове на нов квадрат. Допълнение на Dao: пресечните точки на отсечките свързващи продължението на страна на референтния успоредник с продължението на отсечката свързваща центровете (пресечната точка на диагоналите) на два квадрата дават върхове на квадрат.

теорема на Urquhart (Urquhart's Theorem) - определяна като най-елементарната теорема на евклидовата геометрия, тъй като включва само права и разстояние. Ако в триъгълник ABC се построи отсечка NDM, пресичаща две от страните на триъгълника и продължението на третата, то равенствата: ако AB + BD = AN + ND ще е вярно и равенството AM + MD = AC + CD.

теорема на van Schooten (van Schooten theorem): разстоянието от точка D, лежаща на описаната окръжност около равностранен триъгълник ABC, до най-отдалечения връх A на триъгълника е равно на сумата от разстоянията от точката до другите два върха в триъгълника. Изведената формула е:AD=BD+CD.

теорема на Weill: разглежда бицентричен n-ъгълник и доказва, че центъра на тежестта на рефернтния n-ъгълник има конгруентни координати с центъра на тежестта за други бицентрични n-ъгълници със същия брой страни и едновременно вписани и описани в същите две окръжности. Твърдението е допълващо поризъм на Poncelet.

теорема на Аполоний (Apollonius theorem): сумата от квадратите на две страни на триъгълника е равна на удвоената сума от квадратите на медианата към третата страна и квадрата на половина от същата страна. За триъгълник ABC с медиана AM изведената формула е: AB² + AC² = 2*(AM² + BM²).

теорема на Архимед (за среда на дъга в окръжност): извежда равенство за дължини на хорди в референтната окръжност;

теорема на Брахмагупта: ако вписаният четириъгълник е с дължини на страните a,b,c,d и на диагоналите e,f , то е изпълнено равенството: a*c+b*d = e*f. Ако т.O е пресечна точка на диагоналите, то е изпълнено равенството: OA*OC=OB*OD.  Друга теорема извежда формула за лице на вписан четириъгълник: S = sqr((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d)).

теорема на Бретшнайдер (Bretschneider's theorem), наричана още косинусова теорема за четириъгълник, извежда формулата за лице на несамопресичащ се четириъгълник от равнината по въведени дължини на страните му и два срещулежащи ъгъла  S = sqr((p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d) - 0.5*a*b*c*d*(1+cos(A+C))), където  p - полупериметър на четириъгълника, A, C - два срещулежащи ъгъла в четириъгълника;

теорема на Брокар (Brokard’s Theorem): ортоцентъра на триъгълник EFG съвпада с центъра O на описаната около четириъгълника ABCD окръжност. Използваните означения са: т.O център на описаната окръжност около референтния четириъгълник, т. Е пресечна точка на диагоналите и пресечни точки F и G на продълженията на срещулежащите страни.

теорема на van Obel за триъгълник (van Obel, van Aubel), втора теорема на van Obel : ако в триъгълника ABC са построени чевианите AD, BE, CF, с обща пресечна точка K, то е в сила равенството: AK/KD = AF/FB + AE/EC;

теорема на ван Обел за четириъгълник (van Obel theorem, van Aubel theorem): ако на всяка от страните на произволен несамопресичащ се четириъгълник са построени квадрати, то отсечките, свързващи центровете на срещулежащите квадрати, са равни по дължина и са взаимно перпендикулярни;

теорема на Вариньон (Varignons theorem): средите на страните на произволен четириъгълник са върхове на успоредник;

теорема на Вивиани (theorem Viviani): сумата от отношенията между разстоянието на вътрешна точка от триъгълник към страна отнесено към височината към същата страна е равно на 1;

теорема на Дезарг (Desargues's theorem) -  една от основните теореми в проективната геометрия гласи: два триъгълника са в перспектива аксиално, ако и само ако са в перспектива централно;

теорема на Декарт (в геометрията): 4 произволни, допиращи се окръжности удовлетворяват квадратно уравнение, съдържащо размерите на техните радиуси. Изведената формула е: (k1+k2+k3+k4)*(k1+k2+k3+k4) = 2*(k1*k1+k2*k2+k3*k3+k4*k4).

теорема на Драгомани: центъра на вписаната окръжност, център на външно вписана окръжност и съответните два върха на референтния триъгълник са коциклични точки;

теорема на Ердос-Мордел (Erdos-Mordell theorem): ако в произволен триъгълник ABC се избере вътрешна за него точка P, то сумата от разстоянията до върховете е по-голяма или равна на сумата от разстоянията до страните на триъгълника.  AP + BP + CP >= PA' + PB' + PC'.

теорема на Карно (Carnot's theorem): сумата на разстоянията от центъра на описаната окръжност до страните на триъгълника е равна на сумата на радиусите на описаната и вписаната окръжност в същия триъгълник;

теорема на Коснита (Kosnita's theorem): ако описаната около произволен триъгълник ABC окръжност е с център O, а описаните окръжности около триъгълниците OBC, OCA и OAB са съответно с центрове Qa, Qb и Qc, то отсечките AQa, BQb и CQc се пресичат в една и съща точка, наречена точка на Коснита. Трите центъра Qa, Qb, Qc са връх в триъгълник на Коснита.

теорема на Лайбниц: сумата от квадратите на разстоянията на вътрешна точка P (PA, PB, PC) до трите върха в триъгълника е по-голяма от сумата на квадратите на разстоянията на медицентъра т.M (MA,MB,MC) до същите три върха. PA*PA+PB*PB+PC*PC = MA*MA+MB*MB+MC*MC+3*PM*PM.

теорема на Лестер (Lester's theorem): в произволен разностранен триъгълник центъра на 9-точковата окръжност, центъра на описаната окръжност и двете точки на Ферма лежат на една и съща окръжност (окръжност на Лестер);

теорема на Мавло (Mavlo's theorem): произволен триъгълник отсича от своята 9-точкова окръжност три дъги, такива че дължината на най-голямата от тях е равна на сумата от дължините на останалите две;

теорема на Мансион (theorem of Mansion): всяка отсечка, свързваща център на вписана с център на външно вписана окръжност се дели на две равни части от описаната окръжност около същия триъгълник;

теорема на Масселман (musselman's theorem): ако около произволен триъгълник ABC се опише окръжност с център O и се построят  симетричните (относно срещулежащата страна) пети на височини  точки A', B' и C', то трите окръжности описани около триъгълниците AOA', BOB' и COC' се пресичат в обща точка - точка на Масселман;

теорема на Менелай: ако в триъгълника ABC права пресича продължението на страната AB в т. F, страната BC в т. D, а страната AC в т.E, тогава: (AF/BF)*(BD/DC)*(CE/EA) = 1.

теорема на Микел (Miquel's theorem): ако точките D, E, F лежат съответно на всяка от страните на произволния триъгълник ABC, или на тяхното продължение, то описаните окръжности около триъгълниците AEF, BDF, CDE се пресичат в една точка, наречена точка на Микел (Miquel point). Поредният връх на триъгълника е обща точка за двете страни, към които принадлежат другите две избрани точки.

теорема на Монж (Monge's Circle Theorem) от проективната геометрия гласи: за всеки три окръжности, с различни радиуси, всяка от които не принадлежи изцяло на друга от тях, пресечните точки на общите външни допирателни към всяка отделна двойка окръжности са инцидентни с обща права;

теорема на Морли (Morley's theorem): пресечната точка на трисектрисите на вътрешните ъгли в произволен триъгълник се явяват върхове на равностранен триъгълник;

теорема на Наполеон (Napoleon's theorem: ако на всяка страна на произволен триъгълник се построи равностранен триъгълник, то триъгълникът с върхове центровете на новите триъгълници е също равностранен;

теорема на Наполеон-Барлоти (Napoleon-Barlotti theorem): центровете на правилните n-ъгълници, конструирани по страните на n-ъгълник P, образуват правилен n-ъгълник тогава и само ако P е афинно изображение на правилен n-ъгълник.

теорема на Ойлер (в геометрията - Euler's theorem): междуцентровото разстояние d между вписаната и описаната окръжност около триъгълника d² = R*(R-2*r), където R - радиус на описаната окръжност, а r  е радиус на вписаната окръжност;

теорема на Ойлер (за изпъкнал многостен) извежда равенството: k + m - n = 2 където: k - брой стени; m - брой върхове; n - броят ръбове на същия изпъкнал многостен;

теорема за очните ябълки: ако за две не пресичащи се окръжности се построят двойка допирателни с начална точка центъра на другата окръжност, то отсечките свързващи пресечните им точки с окръжността са равни;

теорема на Пап (Pappus's theorem) - за шестоъгълника се явява основна теорема в проективната геометрия. Разглеждат се координати на точки и прави в равнината. Нека  k и m са две прави в равнината. Върху всяка  права са построени по три различни точки. Върху правата k: А, В, С , върху правата m: А', В', С'. Тогава пресечните точки на отсечките АВ' и А'В, ВС' и В'С, С А' и С'А лежат на една и съща права. В теоремата на Пап фигурират само прави, отсечки и техните крайни и пресечни точки и твърденията в нея остават истинни за произволно проективно преобразуване.

теорема на Паскал - класическа теорема в проективната геометрия: ако шестоъгълник е вписан в окръжност или друго конично сечение (елипса, парабола, хипербола) то пресечните точки на двойките срещулежащи страни са колинеарни точки (лежат на една и съща права);

теорема на пеперудата: доказва наличие на две равни отсечки във вписан четириъгълник;

теорема на Питагор (theorem of Pythagoras, Pythagorean theorem) - една от значимите теореми в евклидовата геометрия. Тя дава връзка между дължините на страни в правоъгълен триъгълник. Изведената формула е: c² = a² + b². Следствие на теоремата за правоъгълен триъгълник: височината към хипотенузата разделя референтния триъгълник на триъгълника всеки подобен на референтния триъгълник; квадратът на височината към хипотенузата е равен на произведението между проекциите върху хипотенузата на двата катета hc² = a1*b1 (geometric mean theorem); квадратът на катет е равен на сумата от квадратите на височината към хипотенузата и квадратът на проекцията на същия катет върху хипотенузата b² = hc² + b1²; квадратът на височината към хипотенузата е равен на разликата между квадратът на катет и квадратът на проекцията на същия катет върху хипотенузата hc² = a² - a1²; квадратът на катет е равен на произведението между проекцията му върху хипотенузата и дължината на хипотенузата a² = c*a1. Питагоровата теорема е оказала съществено значение за развитието на геометрията, основание за твърдението са множеството отделни доказателства като: Bhaskara, Lasvergnas, Molokach, Multatuli, Nelsen, Perigal, Yanney, Гарфийлд, Евклид, Леонардо да Винчи, Сократ, Табит , Хюйгенс и др.

теорема на Питот (Pitot theorem): описаният четириъгълник има равни суми от дължини на срещулежащите си страни;

теорема на Помпей (Pompeiu's theorem) - разглежда описан равностранен триъгълник от равнината и т.М от същата равнина, така че разстоянията MA, MB, MC образуват евентуално страни на дегенериран триъгълник - дължината на едната страна е равна или по-голяма от сумата от дължините на другите две страни;

Първата теорема на Птоломей гласи: произведението от диагоналите на вписан четириъгълник е равно на сумата от произведенията на срещулежащите му страни:  e*f = a*c + b*d

Втората теорема на Птоломей гласи: отношението между диагоналите на вписан четириъгълник е равно на отношението между сумата от произведенията на страните, пресичащи се в краищата на съответния диагонал: e/f= (a*b + c*d)/(a*c + b*d)

теорема на Пърсер (Purser's Theorem) разглежда сума от произведения между дължина на страна в триъгълник и дължина на допирателна от срещулежащия връх.  Съществува произволен триъгълник ABC с дължини на страните съответно a,b,c. Около триъгълника е построена описана окръжност. Построена е и втора окръжност, която се допира до описаната окръжност, както и допирателни от върховете на триъгълника към втората окръжност.

теорема на Стюарт (Stewart's theorem) се отнася за триъгълник и отношение между дължините на страните, чевиана и отсечките на които се разделя срещулежащата страна. Получават се три отделни случая, петата на чевианата лежи на срещулежащата страна или на едно от продълженията ѝ.

теорема на Табит (в геометрията) - обобщение за  теорема на Питагор за произволен триъгълник от равнината;

теорема на Талес за описана окръжност: даден триъгълник е правоъгълен, ако центърът на описаната му окръжност лежи (в средата) на една от страните му;

обобщена теорема на Талес (Intercept_theorem): доказва равенство при отношенията на отсечки, създадени от пресичане рамената на ъгъл с две успоредни прави - на чертежа правите f и g. Теоремата е еквивалентна на теоремата за отношения в подобни триъгълници и е пряко свързана с център на хомотетия.

теорема на Тебо 1: центровете на квадратите, построени на всяка от страните на успоредник, съвпадат с върховете на друг квадрат;

теорема на Тебо 2: Ако на две съседни страни от квадрат се построи по един равностранен триъгълник, то върховете на триъгълниците, нележащи на квадрата и четвъртия връх на квадрата, нележащ на триъгълниците, образуват равностранен триъгълник. Теоремата е в сила и ако двата върха на триъгълниците лежат в квадрата.

теорема на Тебо 3 (Sawayama Thebault's Theorem) - свързана с полувписана окръжност. Има няколко названия: теорема на Thébault III, лема на Sawayama. Множеството публикации по темата и представянето на различни начини за доказателство доказва сложността на задачата. Един от начините за решение е  чрез алгоритъм използван във вид аполониеви задачи - полувписаната окръжност трябва едновременно да се допира до две прави, както и вътрешно до описаната окръжност около референтния триъгълник.

теорема на Фойербах: за произволен триъгълник 9-точковата окръжност има допирни точки с  вписаната и трите външно вписани окръжности на референтния триъгълник; точката на Фойербах е забележителна точка в триъгълника и е обща, конкурентна точка на три окръжности: 9-точковата окръжност (червена), вписаната окръжност (зелена) и описаната окръжност около петите на ъглополовящите (синя);

теорема на Чева (Ceva's theorem): ако през всеки от върховете на триъгълник ABC преминава права, пресичаща противоположната му страна (или тяхното продължение) съответно в точките D, E и F и ако трите прави се пресичат в една точка P, то е в сила равенството: (AF:BF)*(BD:CD)*(CE:AE) = 1.

теорема на Щайнер (Steiner theorem): в трапец, пресечната точка на диагоналите, средите на основите и пресечната точка на бедрата лежат на една права.

Поризъм на Poncelet (Poncelet's porism): ако многоъгълник е вписан в окръжност и описан около друга окръжност, то може да бъде част от фамилия многоъгълници всеки от които е вписан в същата окръжност и описан около другата окръжност.

Точката на Торичели-Ферма е точката Т, за която общото разстояние до трите върха на триъгълника (FA+FC+FC) е минимално. Твърдението е валидно за триъгълници, чийто най-голям ъгъл е под 120°, над тази граница точката на Ферма не принадлежи на референтния триъгълник. Други точки с подобна релация към елементи на триъгълника са: център на вписана окръжност - еднакво разстояние до страните на триъгълника, център на описана окръжност - еднакво разстояние до върховете на триъгълника, ортоцентър минимално разстояние до страните или техните продължения.

Лема на тризъбеца (trillium theorem, trident lemma) разглежда равенство на отсечки/хорди в описаната около триъгълник окръжност.  AM = BM = QM, където точките A, B, C са върхове на произволен триъгълник; точка М е инцидентна с описаната окръжност около триъгълника ABC; т.Q, е център на вписаната окръжност в същия триъгълник.

Текстът на японската теорема гласи: за вписан в окръжност четириъгълник ABCD центровете на вписаните окръжности в триъгълниците ABC, ADC, BAD, BCD образуват правоъгълник.

Височина към хипотенузата в правоъгълен триъгълник разделя референтния триъгълник на два правоъгълни триъгълника, като всеки от тях е подобен на референтния.

Медиана в произволен триъгълник дели триъгълника на два равнолицеви триъгълника, всеки от тях с лице половината от лицето на референтния триъгълник.

Медицентърът (пресечна точка на медианите) в триъгълник е център на тежестта в триъгълника и дели по дължина всяка медиана в отношение 2:1 считано от върха на триъгълника.

9-точковата окръжност в триъгълник разполовява отсечката връх на триъгълник : ортоцентър.

В делтоид координатите на пресечната точка на отсечките свързващи: допирните точки между вписаната окръжност и двойка срещулежащи страни са конгруентни с координатите на пресечната точка между двата диагонала в делтоида;

Правата на Симсън (Simson line, Wallace-Simson Line) е инцидентна с проекциите на точка от описаната окръжност върху страните на произволен триъгълник.

Пресичащи се хорди: ако пресечната точка на две хорди е вътрешна за същата окръжността, то произведението от дължините на частите на едната хорда е равно на произведението от дължините на частите на другата хорда.

Подробно описание и илюстрация на теоремите е представено в изчислителна геометрия.

Съществуват отделни групи теореми, които имат еднакви начални условия и едни и същи изводи. Пример: теорема на Декарт и окръжности на Соди извеждат стойности на радиус за външно вписаната окръжност и описаната окръжност около три не вписани една в друга окръжности от равнината - две от основните аполониеви задачи.

Друга група теореми разглеждат зависимости между различен конкретен набор елементи от референтния триъгълник. Такава е групата: окръжност BS, теорема на Драгомани, теорема на Мансион, лема на тризъбеца.

В голяма част от разглежданите теореми има ограничаващи условия и тяхното не спазване води до грешен извод. Пример за непълно решение за разглеждан четириъгълник. Доказано е, че двете двойки (срещулежащи) страни са равни. Това може да бъде: изроден четириъгълник тип V-образен, делтоид, вид успоредник и в неговия частен случай правоъгълник, ромб или квадрат.

При оценяване на конкурсни задачи се признават само формули отразени в предоставения от организаторите списък. Директното използване на алтернативни формули и следствия от теореми е допустимо само за извършване на собствена проверка и не е основание за признаване на извършените доказателства и/или изчисления.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: височина, ортоцентър, медиана, медицентър, секуща, права, триъгълник, фигурни числа - формули и теореми.