доказателство с бином

В групата задачи обединени под името доказателство с бином се разглежда конфигурация от разностранен правоъгълен триъгълник, описан квадрат с дължина на страна сума от двата катета, вписани 4 правоъгълни триъгълника еднакви с референтния и комбинациите: вписан 1 квадрат с дължина на страна хипотенузата, вписани 2 квадрата с дължина на страна съответния катет. Извеждане на доказателството е чрез равенство на сума от площи: от една страна лице на описания квадрат чрез бином, а от друга сумата от лица на вписаните квадрат(и) и правоъгълни триъгълници. За чертежа такива са:

считано за най-старото доказателство: описан квадрат MDKF с вписани 4 еднакви правоъгълни триъгълника ABC ≅ ABM ≅ KCE ≅ KCG и квадрати AFGC, BDEC; описан квадрат NBGP с вписани 4 еднакви правоъгълни триъгълника OMN ≅ OMT≅ FUT ≅ FUG и квадрати MBUT, OTFP;

Smdkf = Sabji + 4*Sabc = AB² + 4*AC*BC/2;

Smdkf = Sacgf + Sbdec + 4*Sabc = AC² + BC² +  4*AC*BC/2;

AB² + 2*AC*BC = AC² + BC² +  2*AC*BC;

AB² = AC² + BC² - търсеното доказателство

описан квадрат MDKF с дължина на страна MD = AC + BC, вписан квадрат ABJI  с дължина на страна AB, 4 еднакви правоъгълни триъгълника ABM ≅ BJD ≅ IJK ≅ AIF - задача доказателство на Rufas;

описан квадрат NBGP с дължина на страна NB = AC + BC, вписан квадрат OMCQ с дължина на страна AB, 4 еднакви правоъгълни триъгълника OMN ≅ OQP ≅ QCG ≅ MCB - задача доказателство на Rufas;

описан квадрат NBGP с дължина на страна NB = AC + BC, вписан квадрат OMCQ с дължина на страна AB, вписан квадрат OPFT с дължина на страна BC, вписан квадрат ACGF с дължина на страна AC, 4 еднакви правоъгълни триъгълника OMN ≅ OMT ≅ ABM ≅ ABC - задача доказателство на Zhong;

описан квадрат MDKF с дължина на страна NB = AC + BC, вписан квадрат ABJI с дължина на страна AB, вписан квадрат MBUT с дължина на страна BC, вписан квадрат BDEC с дължина на страна AC, 4 еднакви правоъгълни триъгълника UFT ≅ UFG ≅ CKG ≅ CKE - задача доказателство на Zhong;

описан квадрат NBGP с дължина на страна NB = AC + BC, вписан квадрат ASRT с дължина на страна разликата AC-BC, 8 еднакви правоъгълни триъгълника OMN ≅ OMT ≅ OQP ≅ OQR ≅ CQS ≅ CQG ≅ CMA ≅ CMB - задача доказателство на Jing;

описан квадрат OMCQ с дължина на страна OM = AB, вписан квадрат ASRT с дължина на страна разликата AC-BC, 4 еднакви правоъгълни триъгълника OMT ≅ OQR ≅ CQS ≅ CMA - задача доказателство на Bhaskara;

описан квадрат NBGP с дължина на страна NB = AC + BC, вписани 2 правоъгълни трапеца OCGP (OP||CG) и ONBC (ON||BC), равенство между отсечките ON = CG = AC, OP = BC, OM = CM = OQ = CQ = AB - задача доказателство на Гарфийлд;

контур ABDKF вписан квадрат ABJI с дължина на страна AB, квадрат ACGF с дължина на страна AC, квадрат BDEC с дължина на страна BC, успоредник ACKI, успоредник BCKJ, 3 еднакви правоъгълни триъгълника CKG  ≅ CKE  ≅ ABC - задача доказателство на Табит;

Представената конфигурация е от областта занимателна геометрия. Може да бъде основа за група задачи вид геометрични ребуси - отсечката TU е само подсказка.

вариант на Bhaskara и Rufas

В задачата вариант на Bhaskara и Rufas се разглежда съвкупност от 8 еднакви правоъгълни триъгълника образуващи със страните си два квадрата DEFG, KJLC и се извежда доказателство за основното уравнение от питагоровата теорема.

Допълнително е построена отсечка AH инцидентна с т.М център на описания квадрат. Тя го разделя на два еднакви правоъгълни трапеца. Конструкцията обединява основните елементи от задачите доказателство на Rufas, доказателство на Bhaskara, доказателство на Гарфийлд. Изведеното алгебрично доказателство ползва бином. Разглежданата задача е от областта занимателна геометрия.

Последователността на стъпките в алгоритъма реализиращ построителната задача доказателство на Bhaskara и Rufas са представени чрез азбучния ред на означените върхове/пресечни точки.

От използвания алгоритъм следват равенствата:

BC = AD = BE = HF = GI = a;

AC = BD = EH = FI = AG = b;

AB = BH = HI = AI = c;

Sdefg = 4*Sabd + Sabhi =  4*AC*BC/2 + AB²;

Sdefg = (AC + BC)²;

(AC + BC)² = AB² + 2*AC*BC;

AC² + 2*AC*BC + BC² = AB² + 2*AC*BC;

AC² + BC² = AB² - търсеното доказателство.

Разгледайте други основни примери и задачи, за чиято реализация се използват теореми от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал съдържащ подобни алгоритми за доказателства на питагорова теорема като: доказателство на Bhaskara, доказателство на Zhong, доказателство на Табит.