арбелос и външни двойки на Power

Задачата арбелос и външни двойки на Power (Outside Powerian Pairs) разглежда две двойки архимедови окръжности. Всяка от двойките има за своя допирна точка съответната допирна точка на една от дъгите на арбелоса и тяхната обща външна допирателна. Представена е от F. Power.

Окръжностите от двете отделни външни двойки имат обща допирна точка, принадлежаща както на външната допирателна KN така и съответно на отсечките AC, BC. Така точките K, N са:

допирни точки на общата външна допирателна към малките дъги на референтния арбелос;

пресечни точки на общата външна допирателна към малките дъги на арбелоса и една от отсечките AC, BC;

пресечни точки на малките дъги на арбелосa и една от отсечките AC, BC;

Ако в референтния арбелос са построени двойки дъги с дължина на радиус удвоения радиус на съответната малка дъга, то окръжностите от двете отделни външни двойки имат допирна точка със съответната дъга.

Перпендикулярни отсечки са:  IJ ⊥ AC, HG ⊥ BC  - доказателството е разгледано в допирателна.

Общата външна допирателна KN и перпендикуляра на основната ос CD (CD ⊥ AB) взаимно се разполовяват от пресечната си точка т.M.

Алгоритъмът на задачата арбелос и външни двойки на Power съдържа следните стъпки:

посочват се 3 не колинеарни точки A, B, C образуващи върхове на остроъгълен триъгълник;

изчисляват се координати за т.D - проекция на т.С върху отсечката AB;

последователно се построяват малките дъги:

лява дъга: с радиус Ra = AD/2 и център т.Е (AE = DE);

дясна дъга: с радиус Rb = BD/2 и център т.F DF = BF

изчислява се радиус на основната дъга R = AB/2 = (Ra+Rb)/2;

изчислява се радиус на архимедова окръжност Rh = Ra*Rb/(Ra + Rb);

построява се основната дъга, в референтния арбелос, с център т.О, среда на отсечката АВ (AO = BO);

чрез теорема на Питагор се преизчисляват координатите на т.С, така че да бъде инцидентна с голямата дъга на арбелоса;

построява се перпендикулярът CD (CD ⊥ AB), петата на перпендикуляра е и допирна точка на малките дъги;

построява се външната допирателна KN - по алгоритъм представен във външна допирателна;

последователно се построяват две допълнителни дъги, с център т.A, т.B и съответно радиус AD = 2*Ra,BD =  2*Rb;

в цикъл последователно се изчисляват полярните координати за център (I, J, H, G) на всяка окръжност от двете двойки: начална точка е съответната допирна точка (K, N),  използваната дължина на радиус вектор е Rh, а ъгъл на наклон от признака:  IJ ⊥ AC, HG ⊥ BC;

в цикъл последователно се построява всяка окръжност от търсените окръжности в задачата арбелос и външни двойки на Power;

в цикъл последователно се изчисляват координатите и построяват допирните точка на всяка от построените архимедови окръжности до съответната допълнителна дъга - на чертежа в зелено.

Подобен алгоритъм има и задачата арбелос и външни двойки на Power.

Докажете или опровергайте твърдението: комбинацията точки пета на перпендикуляра т.D центъра на външна двойка (I, j  и H,G) са колинеарни точки.

Докажете или опровергайте твърдението: отсечките DK ⊥ AC, DK ⊥ BC са перпендикулярни отсечки.

Разгледайте други основни типове примерни проекти, за чиято реализация се използват теореми и формули от изчислителна геометрия. Потърсете допълнителен материал за: двойки на QTB Powerian, квартет външни двойки, архимедови окръжности.